Докажите, что когда-нибудь в последовательности 53, 503, 5003,... встретится хотя бы одно составное число

задан 7 Апр '14 21:17

10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно непосредственно проверить, что 50003 делится на 31.

Есть и другое решение, из которого извлекается более сильный факт: в этой последовательности встречается бесконечно много составных чисел. А именно, чисел, которые делятся на 7. Все они будут составными. Для того, чтобы число вида $%5\cdot10^{n}+3$% делилось на 7, достаточно, чтобы $%10^n$% при делении на 7 давало в остатке 5 (поскольку $%5\cdot5+3=28$% кратно 7).

Проследим, какие остатки дают степени числа 10 при делении на 7, начиная с $%10^0=1$%. Получается периодическая последовательность 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, ... , где число 5 присутствует бесконечно много раз. (Последовательность строилась так: каждый член умножался на 10 и далее брался остаток от деления произведения на 7.)

Из сказанного легко заметить, что на 7 будут делиться все числа вида 500..03, где количество нулей имеет вид $%6m+4$% при целом неотрицательном $%m$%.

ссылка

отвечен 7 Апр '14 21:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,131

задан
7 Апр '14 21:17

показан
957 раз

обновлен
7 Апр '14 21:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru