Решить неравенство:

$$log_{2x^{-1}}(4x^2)\leq1 $$

задан 7 Апр '14 21:33

10|600 символов нужно символов осталось
4

ОДЗ:$%x>0;x\neq;1;2$%

$%\log_{2x^{-1}}(4x^2)\leq1 \Leftrightarrow \log_{2x^{-1}}(4x^2)-\log_{2x^{-1}}(2x^{-1})\leq0 \Leftrightarrow \log_{2x^{-1}}(\frac{4x^2*x}{2})\leq0$%

Методом рационализации получим: ($%\frac{2}{x}-1)(2x^3-1)\leq0$% Решим это неравенство методом интервалов, нули будут равны $%2;2^{-1/3}$%, учитывая ОДЗ и нанеся нули на числовую прямую, подставив значения (наиболее удобно мне было - взять значение $%1$%), расставляем знаки и получается промежуток $%(0;2^{-1/3}]\cup(2;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 7 Апр '14 22:01

изменен 7 Апр '14 23:49

@kirill1771, метод рационализации записан неверно: вторая скобка должна выглядеть не так

(7 Апр '14 22:29) epimkin

@epimkin: спасибо, просто переписал решение неправлиьно.

(7 Апр '14 23:49) kirill1771

Я так и подумал

(8 Апр '14 0:39) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим два случая для значения основания логарифма.

1) $%2x^{-1} > 1$%, то есть $%0 < x < 2$%. Логарифмическая функция возрастает, откуда $%0 < 4x^2\le2x^{-1}$%. Получается $%x^3\le\frac12$%, то есть $%x\in(0;\frac1{\sqrt[3]2}]$%.

2) $%0 < 2x^{-1} < 1$%, то есть $%x > 2$%. Логарифмическая функция убывает, то есть $%4x^2\ge2x^{-1}$%. После упрощений это даёт $%x\ge\frac1{\sqrt[3]2}$%, что для всех рассматриваемых $%x$% верно.

Объединяя оба множества, получаем $%x\in(0;\frac1{\sqrt[3]2}]\cup(2;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 7 Апр '14 22:05

@falcao, мне кажется, методом рационализации даже быстрее получается.

(7 Апр '14 22:09) student

@student: доказательство самого этого принципа основано на разборе случаев, так что это по сути одно и то же.

(7 Апр '14 22:15) falcao

@falcao, кстати, можно в решении переходить сразу на

Методом рационализации получим: $%(\frac{2}{x}−1)(2x^3)≤0$%

без доказательства?

(7 Апр '14 22:23) student

Для себя можно, но, если кто-то будет это проверять, то нужно хотя бы единицу перенести в правую часть, но лучше, конечно, будет расписать (на всякий случай).

(7 Апр '14 22:28) kirill1771

@student: я обычно такого рода средств не использую, потому что их нет в школьной программе, и проверяющие всегда могут потребовать обоснования. Могут и не потребовать, посчитав это общеизвестным, но всегда есть какой-то риск, поэтому проще основываться на том, что есть в учебнике (этого всегда достаточно).

(7 Апр '14 22:34) falcao

@kirill1771, я имею ввиду переход от "итогового" логарифма к методу рационализации без обоснования.

@falcao, просто так получается, что на сайтах, например, reshuege, подобные приемы обычно вводятся без обоснования (если они используются).

(7 Апр '14 22:41) student

@student, (2/x-1)(2x^3)<=0 - это неправильно, нужно (2/x-1)(2x^3-1)<=0

(7 Апр '14 23:04) epimkin

@student: да, но нужно как минимум указать, что используется метод рационализации или, что у этого неравенства решения будут с такими же знаками, как и у исходного.

@falcao: хотя нам в школе разрешили применять этот метод (не смотря на то, что в программе его нет), то есть проверяющие скорее всего не снизят за это. Но на экзамене я бы лучше использовал "традиционные" методы.

(7 Апр '14 23:52) kirill1771

@student: я не участвую в проверке работ ЕГЭ и тому подобных мероприятиях. Допускаю, что такие приёмы считаются в порядке вещей, коль скоро в "образцах" решений так поступают. Правда, здесь надо, чтобы решения были "авторизованными". Но мне лично кажется полезным всегда (или почти всегда) использовать "минимальные" средства (типа свойств неравенств или известных свойств элементарных функций). Этого, как правило, достаточно для решения всех подобных задач. А дополнительные приёмы требуется как минимум перепроверять, дабы нечаянно не ошибиться.

(8 Апр '14 0:22) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×249
×241

задан
7 Апр '14 21:33

показан
876 раз

обновлен
8 Апр '14 0:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru