|
Диаметр $%AB$% и хорда $%CD$% окружности пересекаются в точке $%E$%, причём $%CE=DE$%. Касательные к окружности в точках $%B$% и $%C$% пересекаются в точке $%K$%. Отрезки $%AK$% и $%CE$% пересекаются в точке $%M$%. а) Докажите подобие треугольников $%ACE$% и $%OKB$%, где $%O$% - центр данной окружности. б) Найдите площадь треугольника $%CKM$%, если $%AB=10, AE=1$%. задан 7 Апр '14 21:52 
student |
|
а)$%CD$% перпендикулярен $%AB$%, это можно доказать, рассмотрев треугольник $%OCD$%, где $%OE$% будет медианой и высотой (так как $%OC=OD$% и он равнобедренный). Тогда $%\angle CEA$% будет прямым и $%\angle KBO$% - тоже (так как $%KB$% - касательная, $%OB$% - радиус) и тогда $%\angle CEA=90$%. Пусть $%\angle OAC=\alpha$%, тогда в равнобедренном треугольнике $%OCA$%, где $%\angle OCA=\angle OAC=\alpha$%, $%\angle COA=180-2\alpha$%, тогда $%\angle BOC=180-\angle COA=2\alpha$% (как смежный), а $%\angle KOB=\frac{1}{2}\angle BOC=\alpha$%, следовательно треугольники $%BOK$% и $%CEA$% подобны по двум углам. Над б) пока думаю. отвечен 7 Апр '14 23:14 
kirill1771 |
По поводу первого пункта условия: судя по всему, авторы задачи имели в виду, что отрезок CD перпендикулярен диаметру. Из того, что CE=DE, это почти всегда следует, но вообще-то возможен случай, когда CD -- также диаметр, и O=E. Тогда ACE не должен быть прямоугольным, и подобия треугольников для этого случая нет.
@falcao: да, этот случай, когда обе хорды являются диаметрами не подходит, так как в условии сказано, что AE=1; AB=4, поэтому AE не является половиной AB, то есть радиусом.
@kirill1771: я говорил о пункте 1, и там про длину AE ничего не говорится. Поэтому формально надо добавить какую-то оговорку, чтобы условие было корректно.
Кстати, AB=10, согласно условию?
@falcao, да, 10, я описался.