натуральные-числа - Натуральный ряд разбили на n арифметических прогрессий

Рассмотрим числа от $%1$% до $%N$%. Пусть среди них имеется $%k$% чисел, принадлежащих арифметической прогрессии с разностью $%d$%. Упорядочим эти числа по возрастанию: $%1\le a_1 < \cdots < a_k\le N$%. Из этого следует, что $%(k-1)d=a_k-a_1\le N-1$%. Помимо этого, справедливы неравенства $%a_1\le d$% и $%a_k > N-d$%. В противном случае можно было бы добавить к прогрессии числа $%a_1-d$% или $%a_k+d$%: они попали бы в отрезок от $%1$% до $%N$%.

Из сказанного выше имеем оценку $%(k-1)d=a_k-a_1 > N-2d$%. Имеет место такое двойное неравенство: $%N-d < kd < N+d$%. Обозначая через $%k_i$% количество чисел от $%1$% до $%N$%, попавших в $%i$%-ю из рассматриваемых арифметических прогрессий с разностью $%d_i$%, имеем равенство $%N=k_1+\cdots+k_n$% ввиду того, что всякое число принадлежит ровно одной прогрессии.

Для каждого $%i$% от $%1$% до $%n$% выполнено неравенство $%N-d_i < k_id_i < N+d_i$%. Разделив почленно на $%d_i$%, просуммируем все такие неравенства вида $%N/d_i-1 < k_i < N/d_i+1$%. Мы получим $%N$% в середине, и это число удовлетворяет двойному неравенству $%N(1/d_1+\cdots+1/d_n)-n < N < N(1/d_1+\cdots+1/d_n)+n$%. Это равносильно тому, что оцениваемая нами величина $%1/d_1+\cdots+1/d_n$% находится (строго) между $%1-n/N$% и $%1+n/N$%. Число $%n$% фиксировано, и при стремлении $%N$% к бесконечности мы переходим к пределу в неравенствах, заключая, что $%1\le1/d_1+\cdots+1/d_n\le1$%, то есть $%1/d_1+\cdots+1/d_n=1$%.