4
1

Найти все положительные значения параметра $%a$%, при каждом из которых множеством решений неравенства $%\frac{x-2}{ax^2-(a^2+1)x+a}\geq0$%, является некоторый луч.

задан 8 Апр '14 18:53

изменен 8 Апр '14 21:37

Deleted's gravatar image


126

Хотелось бы большей формальной точности. Прежде всего, решением (числового) неравенства может быть только число. Множество не может быть решением, так как его нельзя подставлять вместо $%x$% в арифметические выражения. Также неясна роль оборота "множество значений" -- обычно так говорят о функциях.

Правильно ли я понял, что надо найти все $%a$%, для которых множество решений неравенства представляет собой луч на числовой прямой?

(8 Апр '14 19:17) falcao

@falcao: я точно задание не вспомнил, сейчас нашел, исправил формулировку. Мне кажется, что из нее следует найти все значения параметра, при которых множество значений $%x$%, будет решением данного неравенства и так же будет представляться на прямой в виде луча.

(8 Апр '14 19:24) kirill1771

@kirill1771: желательно было бы уточнить условие. Я помню, где-то была задача с параметром, где множество значений функции совпадало с областью её определения. Но здесь, судя по всему, имелось в виду другое. Так или иначе, для формулировки с лучом в качестве множества решений задача явно имеет смысл.

Обратите внимание на то, что сказано у Вас в комментарии. Множество не может быть решением неравенства! Это к вопросу о формальной точности выражений и о правильной передаче смысла.

(8 Апр '14 19:31) falcao

@falcao: понимайте, как Вам лучше, я, просто не так что-то понял, но условие, которое я написал, точная формулировка задания и, если что-то там не корректно, то предложите, пожалуйста, как можно это исправить.

(8 Апр '14 20:49) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
2

Отдельно рассмотрим случай $%a=0$%. Получается неравенство $%\frac{x-2}x\le0$%, множество решений которого представляет собой полуинтервал $%x\in(0;2]$%, а не луч.

Пусть $%a\ne0$%. В знаменателе дроби при этом оказывается квадратный трёхчлен, корни которого равны $%a$% и $%\frac1a$%, что видно их теоремы Виета. При разложении знаменателя на множители получается $%a(x-a)(x-\frac1a)$%.

Предположим, что числа $%2$%, $%a$%, $%\frac1a$% попарно различны. Тогда они разбивают числовую прямую на 4 промежутка. Знаки выражения $%\frac{x-2}{a(x-a)(x-\frac1a)}$% чередуются на каждом из промежутков, откуда ясно, что множеством решений неравенства будет объединение луча (открытого или замкнутого) и полуинтервала, и тем самым получается не луч. Следовательно, остаётся рассмотреть лишь случаи, когда среди указанных трёх чисел встречаются одинаковые.

Если $%a=\frac1a$%, то $%a=\pm1$%. При $%a=1$% неравенство имеет вид $%\frac{x-2}{(x-1)^2}\ge0$%, и множество решений задаётся системой условий $%x\ge2$% и $%x\ne1$%. Получается луч $%x\in[2;+\infty)$%, то есть значение $%a=1$% нам подходит.

При $%a=-1$% неравенство приобретает вид $%\frac{x-2}{(x+1)^2}\le0$% (знак меняется за счёт $%a < 0$%), и множество решений имеет вид $%x\in(-\infty;-1)\cup(-1;2]$%, то есть лучом не является.

Наконец, если $%a=2$% или $%a=\frac12$%, получается неравенство $%\frac{x-2}{(x-2)(x-\frac12)}\ge0$%, где $%x\ne2$%. После сокращения $%x-2$% в числителе и знаменателе, оказывается, что $%x-\frac12 > 0$%. Множество решений имеет вид $%x\in(\frac12;2)\cup(2;+\infty)$%, и также не является лучом.

Таким образом, единственным подходящим значением является $%a=1$%.

P.S. Я рассмотрел здесь все значения параметра $%a$%, а не только положительные.

ссылка

отвечен 9 Апр '14 12:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×259

задан
8 Апр '14 18:53

показан
1199 раз

обновлен
9 Апр '14 13:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru