Найти значения параметра а, при которых уравнение имеет одно решение. $$e^{x}-(a^{2}-3a+1)x=0$$ Если решать графически, то нужно найти угловой коэффициент прямой, проходящей через н.к., к показательной $%f(x)=e^{x}$%. Как можно это сделать?

задан 8 Апр '14 19:50

перемечен 9 Апр '14 16:13

student's gravatar image


2.8k140208

10|600 символов нужно символов осталось
5

Это уравнение можно представить в виде $%e^x=(a^2-3a+1)x$%,так как функция $%e^x$% не может быть равна нулю (то есть не имеет решений в точке нуль), то функция $%e^x-(a^2-3a+1)x$% будет иметь решения тогда, когда $%a^2-3a+1 \neq0$%, то есть $%a\neq \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$%. Так же она будет иметь решения (то есть функции будут пересекаться в одной точке), когда $%a^2-3a+1$% ($%k$%, если представить это, как функцию прямой, проходящую через начало координат, то есть имеет вид $%f(x)=kx$%), поэтому, если мы найдем такое $%k$%, при ктором прямая будет касаться фукции $%e^x$%, далее нам будут подходить все отрицательные значения $%k$% (когда прямая имеет тупой угол наклона пересекает ее в одной точке). При $%k<0$%: $%a\in(\frac{3- \sqrt{5}}{2};\frac{3+ \sqrt{5}}{2})$%

($%e^x$%)'=$%e^x$%, поэтому фукция касательной к этому графику будет иметь вид: $%e^{x_0}+e^{x_0}x-e^{x_0}x_0=e^{x_0}(1-x-x_0)$%, так как это должна быть наша прямая, которая проходит через начало координат, то подставим их: $%1-x_0=0 \Leftrightarrow x_0=1$%, подставим в уравнение касательной и получим, что наша касательная будет $%ex$%, то есть $%e$% - это минимальное значение коэффициента прямой, при котором она будет касательной, так же мы знаем,что она равна $%(a^2-3a+1)x$%, то есть нам надо найтивсе значения $%a$%, при которых выполнится неравенство $%a^2-3a+1 = e$%, получается: $%a=\frac{3- \sqrt{5+4e}}{2};\frac{3+ \sqrt{5+4e}}{2}$%,первое и второе значения будут значениями параметра, при котороых произойдет касание. Таким образом, $%a\in(\frac{3- \sqrt{5}}{2};\frac{3+ \sqrt{5}}{2})\cup \{\frac{3- \sqrt{5+4e}}{2}\}\cup\{{\frac{3+ \sqrt{5+4e}}{2}}\}$%

ссылка

отвечен 8 Апр '14 21:09

изменен 9 Апр '14 0:00

@kirill1771: мне кажется, чтобы было единственное решение необходимо, чтобы графики касались в одной точке, т.е. a^2-3a+1=e (угл.коэф), тогда ответом будут два значения а. Я где-то ошибаюсь?

(8 Апр '14 21:55) ertgeg

@ertgeg: да, Вы правы, я недосмотрел это, сейчас исправлю.

(8 Апр '14 22:17) kirill1771

У меня получился совершенно другой ответ Во - первых , когда прямая является касательной, во вторых, когда коэффициент перед иксом отрицательный

(8 Апр '14 22:21) epimkin

@epimkin: я нашел значительные ошибки у себя, ответ поменялся, но некоторые значения такие же, может укажите ошибки?

(8 Апр '14 22:46) kirill1771

@ertgeg: я внес исправления, там есть некоторые моменты.

(8 Апр '14 22:47) kirill1771

Ответ будет таким: ((3-sqrt(5))/2; (3+sqrt(5)/2) - при этих значениях а линейная функция убывает и графики пересекаются в одной точке, а также а=(3+sqrt(4e+5))/2 и (3-sqrt(4e+5))/2. При этих а прямая является касательной. Эти значения а находятся из уравнения (a^2−3a+1)=e

(8 Апр '14 22:53) nynko

@kirill1771 , да умнея такиех

(8 Апр '14 22:54) epimkin
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×320
×259

задан
8 Апр '14 19:50

показан
1255 раз

обновлен
9 Апр '14 16:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru