$%\log_7(\frac{3}{x})+log_7(x^2-7x+11)\leq \log_7(x^2-7x+\frac{3}{x}+10)$% Я начал с определения ОДЗ, для первых двух все нормально, но для третьего не могу определить, что делать?

PS я знаком с функциональностью и правилами форума, знаю рейтинговую систему.

задан 8 Апр '14 20:08

изменен 8 Апр '14 21:37

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
4

Найдем ОДЗ левой части неравенства: $%x \in(0;\frac{7-\sqrt{5}}{2})\cup(\frac{7+\sqrt{5}}{2};+\infty)$%; $%$% теперь приведем к виду $%\log_7(\frac{3(x^2-7x+11)}{x})\leq\log_7(x^2-7x+10+3/x) \Leftrightarrow \frac{3(x^2-7x+11)}{x}\leq x^2-7x+10+3/x \Leftrightarrow $%

$%x^3-10x^2+17x-8 \geq 0 \Leftrightarrow (x-2)(x^2-8x+15) \geq 0$% решением данного неравентсва будет $%x \in [2;3]\cup[5;+\infty)$% (я решал методом интервалов), совместим в предыдущим (еще не полным) ОДЗ и получим $%x \in [2;\frac{7-\sqrt{5}}{2})\cup[5;+\infty)$% , (так как у этой параболлы ветви направлены вверх, а абсцисса вершина равна $%3,5$%, то есть при всех значениях $%x$%, больших этого функция возрастает, а при самом минимальном - $%8$%, она положительна), подставив $%\frac{7-\sqrt{5}}{2})$% в уравнение $%x^2-7x+10+3/x$%, получим положительное значение, то есть эти значения подходят по ОДЗ и являются окончательным ответом.

ссылка

отвечен 8 Апр '14 21:42

изменен 8 Апр '14 22:05

10|600 символов нужно символов осталось
3

$%\log_7(\frac{3}{x})+log_7(x^2-7x+11)\leq \log_7(x^2-7x+\frac{3}{x}+10)$%

Обозначим $%\frac3x=z, x^2-7x+11=t$%

$%\log_7z+log_7t\leq \log_7(z+t-1)\Leftrightarrow \begin{cases} zt\le z+t-1 \\z>0 \\t>0\end{cases}\begin{cases} (z-1)(t-1)\le 0 \\z>0 \\t>0\end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}\begin{cases} 0< z\le 1 \\ t\ge 1 \end{cases}\\ \begin{cases} 0< t\le 1 \\ z\ge 1\end{cases} \end{aligned} \right.$%

$%\left[ \begin{aligned}\begin{cases} 0< \frac3x\le 1 \\x^2-7x+11\ge 1 \end{cases}\\ \begin{cases} 0< x^2-7x+11\le 1 \\ \frac3x\ge 1\end{cases} \end{aligned} \right .\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}\begin{cases} x\ge 3 \\ x\in(-\infty;2]\cup [5;\infty)\end{cases}\\ \begin{cases}x\in[2;\frac{7-\sqrt5}2)\cup (\frac{7+\sqrt5}2;5] \\ 0< x\le 3 \end{cases} \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x\in [5;\infty)\\ x\in[2;\frac{7-\sqrt5}2)\end{aligned} \right. \Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow x\in[2;\frac{7-\sqrt5}2)\cup [5;\infty)$%

ссылка

отвечен 8 Апр '14 21:45

изменен 8 Апр '14 22:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%x^2-7x+\frac{3}{x}+10>0$%

$%\frac{x^3-7x^2+10x+3}{x} >0 $%

Я думаю, для определения ОДЗ достаточно будет приблизительно оценить корни уравнения $%x^3-7x^2+10x+3=0$% и применить метод интервалов. Затем, когда неравенство уже будет решено, можно будет подставлять границы интервалов с решениями в исходный логарифм и проверять, существует ли он. Я вижу решение так. Поправьте меня, если я неправ.

ссылка

отвечен 8 Апр '14 20:30

изменен 8 Апр '14 20:32

1

@student: такой подход верен, если нужно оценить приблизительно корни, но для точных решений это не правильно, я думаю, что лучше сначала будет решить неравенство, а потом определить ОДЗ, там будет возможно кое-что исключить, скорее всего к этому и ведется.

(8 Апр '14 20:38) kirill1771

@kirill1771, в принципе, я говорю как раз об этом. Можно также постараться и точно вычислить корни для записи в ответ.

(8 Апр '14 20:44) student

@student: к сожалению, вся сложность в том, чтобы найти точные решения.

(8 Апр '14 20:57) kirill1771

@kirill1771, дело в том, что корни в точном виде будут занимать, наверное, целую страницу. Мне кажется, это неравенство из ЕГЭ, а там не дают таких сложных вычислений. Впрочем, я считаю, что подобные "плохие" корни и так появляются очень редко в любых задачах.

Может быть, опечатка в задании?

(8 Апр '14 21:10) student

@student: я выложил решение, там, как я и предполагал, хитрость была в том, чтобы сначала решить и наложить на имеющееся ОДЗ, а потом определить остальное.

(8 Апр '14 21:43) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×472

задан
8 Апр '14 20:08

показан
3825 раз

обновлен
8 Апр '14 23:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru