|
Найти наибольшую степень двойки, на которую при любом нечетном $%а$% делится число $%a^{12} - a^8 - a^4 + 1$%? задан 8 Апр '14 21:30 
student |
|
Многочлен можно разложить на множители: $%(a^8-1)(a^4-1)=(a^4-1)^2(a^4+1)$%. При $%a=3$% получается $%80^2\cdot82$%, что делится на $%2^9$%, но не делится на $%2^{10}$%. Докажем, что делимость на $%2^9$% имеет место при любом нечётном $%a$%. Поскольку $%a^4+1$% чётно, достаточно проверить, что $%a^4-1=(a^2-1)(a^2+1)$% делится на $%2^4$%. Это ясно из того, что $%a^2+1$% чётно, а $%a^2-1=(a-1)(a+1)$% является произведением двух последовательных чётных чисел, одно из которых делится на 4, а другое чётно. Таким образом, в ответе получается девятая степень двойки. отвечен 9 Апр '14 2:54 
falcao |