Найти наибольшую степень двойки, на которую при любом нечетном $%а$% делится число $%a^{12} - a^8 - a^4 + 1$%?

задан 8 Апр '14 21:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Многочлен можно разложить на множители: $%(a^8-1)(a^4-1)=(a^4-1)^2(a^4+1)$%.

При $%a=3$% получается $%80^2\cdot82$%, что делится на $%2^9$%, но не делится на $%2^{10}$%.

Докажем, что делимость на $%2^9$% имеет место при любом нечётном $%a$%. Поскольку $%a^4+1$% чётно, достаточно проверить, что $%a^4-1=(a^2-1)(a^2+1)$% делится на $%2^4$%. Это ясно из того, что $%a^2+1$% чётно, а $%a^2-1=(a-1)(a+1)$% является произведением двух последовательных чётных чисел, одно из которых делится на 4, а другое чётно.

Таким образом, в ответе получается девятая степень двойки.

ссылка

отвечен 9 Апр '14 2:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×590

задан
8 Апр '14 21:30

показан
559 раз

обновлен
9 Апр '14 2:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru