0
1

Через точку внутри треугольника $%ABC$% со сторонами $%AB=c, AC=b, BC=a$% провели 3 отрезка, параллельные сторонам треугольника. Оказалось, что все три отрезка имеют одинаковую длину $%x$%. Найдите $%x$%.

задан 8 Апр '14 22:54

Формулировка не корректно.

(9 Апр '14 1:17) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
1

Условие сформулировано несколько неаккуратно, так как не сказано, что отрезки образуются как пересечения проведённых прямых с треугольником. Если исходить из такой уточнённой версии, то получается следующее.

Пусть $%ABC$% -- пусть треугольник, $%O$% -- точка внутри. Проведём через неё прямые, параллельные сторонам, и пусть они пересекают сторону $%BC$% в точках $%A_1$%, $%A_2$%, где порядок расположения точек на стороне таков: $%B$%, $%A_1$%, $%A_2$%, $%C$%. Симметрично поступим с остальными обозначениями. Отрезок, параллельный $%AB$%, проходящий через $%O$%, будет иметь концы $%B_2$% и $%A_1$%, где луч $%B_2A_1$% сонаправлен $%AB$%, и так далее.

При каждой из вершин треугольника получается по параллелограмму. С учётом того, что $%OB_2=C_1A$% и $%OA_1=C_2B$%, получаем $%C_1C_2=AB-(C_1A+C_2B)=AB-(OB_2+OA_1)=c-x$%, и аналогично для других сторон. Из тех соображений, что $%C_1C_2O$% подобен $%ABC$%, находим длины $%OC_1=(c-x)b/c$% и $%OC_2=(c-x)a/c$%, и аналогично для отрезков $%OA_1$%, $%OA_2$%, $%OB_1$%, $%OB_2$%.

Составим уравнение $%x=B_1C_2=OC_2+OB_1=(b-x)a/b+(c-x)a/c$%, из которого $%x(1+a/b+a/c)=2a$%, то есть $$x=\frac2{\frac1a+\frac1b+\frac1c}.$$

ссылка

отвечен 9 Апр '14 11:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024
×760

задан
8 Апр '14 22:54

показан
541 раз

обновлен
9 Апр '14 11:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru