Решите систему: $%x^2+y^2<=a^3$% и $%|x|*y>=4a$% имеет хотя бы одно решение.

задан 9 Апр '14 14:32

изменен 11 Апр '14 19:21

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если решение есть, то $%a^3\ge0$%, и потому $%a\ge0$%. При $%a=0$% имеется нулевое решение. Пусть $%a > 0$%. Тогда $%|x|y\ge4a > 0$%, откуда $%x\ne0$%, и потому $%|x| > 0$%. При этом $%y\ge\frac{4a}{|x|} > 0$%. Как следствие, $%y^2\ge\frac{16a^2}{x^2}$%. Из первого неравенства имеем $%a^3\ge x^2+y^2\ge x^2+\frac{16a^2}{x^2}$%. Полагая $%t=x^2 > 0$% и домножая на $%t$% неравенство $%a^3\ge t+\frac{16a^2}t$%, приходим к квадратичному неравенству $%t^2-a^3t+16a^2\ge0$%. Для того, чтобы оно имело решение, необходимо, чтобы дискриминант квадратного трёхчлена был неотрицателен. Поэтому $%D=a^6-64a^2\ge0$%. Сокращая на $%a^2 > 0$%, имеем $%a^4\ge2^6$%, откуда $%a\ge2^{3/2}=2\sqrt2$% с учётом положительности $%a$%.

При указанному условии числа $%x=y=2\sqrt{a}$% будут давать решение системы, так как второе неравенство превращается в равенство, а в первом получается $%x^2+y^2=8a\le a^3$%.

В ответе будет $%a\in\{0\}\cup[2\sqrt2;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 9 Апр '14 15:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,952

задан
9 Апр '14 14:32

показан
551 раз

обновлен
9 Апр '14 15:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru