Дана трапеция $%ABCD$%. $%BC$% - большее основание, $% S_{трап.}=12 \sqrt{3} $%. Прямые $%BC$% и $%AD$% касаются окружности, диаметром $%2\sqrt{3}$% ($%BD$% - высота трапеции). Боковые стороны трапеции $%AB$% и $%CD$% пересекают окружность в точках $%M$% и $%N$% соответственно. $%MN=3$%. Найти $%BC$%.

задан 9 Апр '14 20:06

изменен 11 Апр '14 4:30

falcao's gravatar image


261k33750

Окружность построена на BD как на диаметре?

(9 Апр '14 21:11) falcao

да, именно так

(10 Апр '14 7:22) stander
10|600 символов нужно символов осталось
4

Я бы чуть откорректировал условие. Там надо сказать, что $%BD$% -- высота трапеции, и на ней как на диаметре построена окружность. Тогда замечание о том, что основания трапеции её касаются, является лишним.

Решение можно предложить такое. Пусть $%O$% -- центр окружности. Тогда в равнобедренном треугольнике $%OMN$% нам известны длины сторон: $%OM=ON=\sqrt3$% и $%MN=3$%. Косинусы углов при основании равны $%\sqrt3/2$%, то есть эти углы равны $%\pi/6$%. Угол при вершине $%O$% при этом равен $%2\pi/3$%, а вписанный угол $%MBN$% равен его половине, то есть $%\pi/3$%.

Дальше используем тригонометрию. Луч $%BD$% разбивает угол $%MBN$% на два угла $%\varphi$% и $%\psi$%, в сумме дающих $%\pi/3$%. Мы знаем, что $%AD+BC=12$% из соображений площади. Полагая $%BC=x$%, имеем $%AD=12-x$%, и тогда $%\tan\varphi=AD:BD=\frac{12-x}{2\sqrt3}$%. Легко заметить, что величина угла $%BCD$% равна $%\psi$% (так как $%BNC$% прямой), поэтому $%\tan\psi=BD:BC=\frac{2\sqrt3}{x}$%.

Пользуясь формулой тангенса суммы, заключаем, что $%\sqrt3=\tan\frac{\pi}3=\tan(\varphi+\psi)=\frac{\tan\varphi+\tan\psi}{1-\tan\varphi\tan\psi}$%, откуда $%\sqrt3(1-\frac{12-x}{x})=\frac{12-x}{2\sqrt3}+\frac{2\sqrt3}{x}$%. После упрощений получается $%x^2=84$%, то есть $%x=2\sqrt{21}$%.

ссылка

отвечен 11 Апр '14 4:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×760
×258
×81

задан
9 Апр '14 20:06

показан
795 раз

обновлен
11 Апр '14 4:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru