|
Дана трапеция $%ABCD$%. $%BC$% - большее основание, $% S_{трап.}=12 \sqrt{3} $%. Прямые $%BC$% и $%AD$% касаются окружности, диаметром $%2\sqrt{3}$% ($%BD$% - высота трапеции). Боковые стороны трапеции $%AB$% и $%CD$% пересекают окружность в точках $%M$% и $%N$% соответственно. $%MN=3$%. Найти $%BC$%. задан 9 Апр '14 20:06 
stander |
|
Я бы чуть откорректировал условие. Там надо сказать, что $%BD$% -- высота трапеции, и на ней как на диаметре построена окружность. Тогда замечание о том, что основания трапеции её касаются, является лишним. Решение можно предложить такое. Пусть $%O$% -- центр окружности. Тогда в равнобедренном треугольнике $%OMN$% нам известны длины сторон: $%OM=ON=\sqrt3$% и $%MN=3$%. Косинусы углов при основании равны $%\sqrt3/2$%, то есть эти углы равны $%\pi/6$%. Угол при вершине $%O$% при этом равен $%2\pi/3$%, а вписанный угол $%MBN$% равен его половине, то есть $%\pi/3$%. Дальше используем тригонометрию. Луч $%BD$% разбивает угол $%MBN$% на два угла $%\varphi$% и $%\psi$%, в сумме дающих $%\pi/3$%. Мы знаем, что $%AD+BC=12$% из соображений площади. Полагая $%BC=x$%, имеем $%AD=12-x$%, и тогда $%\tan\varphi=AD:BD=\frac{12-x}{2\sqrt3}$%. Легко заметить, что величина угла $%BCD$% равна $%\psi$% (так как $%BNC$% прямой), поэтому $%\tan\psi=BD:BC=\frac{2\sqrt3}{x}$%. Пользуясь формулой тангенса суммы, заключаем, что $%\sqrt3=\tan\frac{\pi}3=\tan(\varphi+\psi)=\frac{\tan\varphi+\tan\psi}{1-\tan\varphi\tan\psi}$%, откуда $%\sqrt3(1-\frac{12-x}{x})=\frac{12-x}{2\sqrt3}+\frac{2\sqrt3}{x}$%. После упрощений получается $%x^2=84$%, то есть $%x=2\sqrt{21}$%. отвечен 11 Апр '14 4:50 
falcao |
Окружность построена на BD как на диаметре?
да, именно так