Можно ли на клетчатой бумаге нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах?

У меня получилось, что нет: если $%a$% - сторона треугольника, то $%\frac{a\sqrt{3}}{2}$% - высота. Но высота должна быть целым числом (это следует из того, что высота - расстояние от вершины до прямой, на которой находится противолежащая ей сторона. Верно ли это? Спасибо.

задан 9 Апр '14 22:43

закрыт 10 Апр '14 21:34

Высота совершенно не обязательно будет целым числом. Она может принимать сколь угодно малые значения. Более того, она даже не обязательно рациональна: расстояние от точки (0;0) до прямой y=2x+1 выражается через корень из пяти. И длины сторон (расстояния между узлами) могут быть корнями из натуральных чисел.

Здесь надо опираться на соображения площади.

(9 Апр '14 22:57) falcao

@falcao, нашёл подсказку к задаче на http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=60867.

Воспользуйтесь тем, что прямая, проходящая через целые точки, имеет рациональный тангенс наклона.

как это обосновывается?

(9 Апр '14 23:04) student

Я знаю решение, основанное на соображениях площади. Оно достаточно простое в реализации. Но можно решать и через тангенсы. То утверждение, о котором Вы говорите, очевидно: тангенс угла наклона прямой y=kx+b равен k, то есть угловому коэффициенту, а последний, безусловно, рационален, так как является отношением целочисленных катетов (с точностью до знака).

(9 Апр '14 23:09) falcao

@falcao, хорошо, а как это делается в площадях?

(9 Апр '14 23:11) student
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Вопрос отвечен и ответ принят". Закрывший - student 10 Апр '14 21:34

2

Квадрат стороны -- натуральное число. Площадь получается умножением на $%\sqrt3/4$%, поэтому она иррациональна. С другой стороны, площадь любого треугольника (и вообще многоугольника) с вершинами в узлах целочисленной решётки должна быть рациональна. Это следует из общей формулы вычисления площади, но ещё проще получается дорисовыванием до прямоугольника. Он имеет целую площадь, а те его части, которые не входят в треугольник -- это прямоугольные треугольники с целочисленными катетами. То есть площадь будет целым или полуцелым числом.

ссылка

отвечен 10 Апр '14 0:01

@falcao, красивое доказательство!

(10 Апр '14 21:34) student
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×760

задан
9 Апр '14 22:43

показан
1817 раз

обновлен
10 Апр '14 21:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru