Правильный треугольник $%CMN$% вписан в квадрат $%ABCD$% так, что вершины $%M$% и $%N$% лежат на сторонах $%AD$% и $%AB$% соответственно. Найдите площадь треугольника, если площадь квадрата равна $%1$%.

задан 9 Апр '14 23:13

изменен 11 Апр '14 2:46

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь есть совсем простое решение, основанное на тригонометрии. Поскольку $%CM=CN$%, отсюда следует равенство углов $%BCN$% и $%DCM$%. Поэтому каждый из этих углов равен 15 градусам, и сторона правильного треугольника равна $%\frac1{\cos15^{\circ}}$%. Остаётся воспользоваться формулой косинуса половинного угла -- лучше сразу в квадрате, так как нам нужен квадрат стороны для нахождения площади.

Но можно предложить и решение, не основанное на тригонометрии. Если $%S$% -- искомая площадь, то легко заметить, что сумма площадей треугольников $%BCN$% и $%DCM$% равна $%S$%, так как после "перегибания" их через стороны правильного треугольника они в точности его покроют. А площадь оставшейся части (это треугольник $%AMN$%) равна $%x^2/4$%, где $%x=MN$%. Поскольку $%S=\sqrt3x^2/4$%, получается уравнение $%S(2+1/\sqrt3)=1$%, из которого всё сразу находится.

ссылка

отвечен 10 Апр '14 0:15

@falcao:как формально называется тот примем ("перегибание"), который Вы использовали? Если Вам не сложно, можете сказать, по каким запросам надо искать, чтобы поближе с этим познакомиться?

(10 Апр '14 0:25) kirill1771

@kirill1771: это не более чем признак равенства треугольников. Я просто в такой форме это решил "преподнести", но так рассуждать совершенно не обязательно. Хотя геометрические преобразования, осевые симметрии и прочее тут тоже можно применять. У нас всё это было основой школьной программы, когда я учился.

(10 Апр '14 0:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

Очевидно (при необходимости это можно будет легко доказать), что $%\angle MCD=\angle MCB=(90-60)/2=15$%; Так как площадь квадрата равна единице, то и стороны тоже равны единице. Тогда стороны этого равностороннего треугольника будут равны $%\frac{1}{cos^215}$% - нашли в одном из маленьких треугольников, которых отделились нашим (например, в треугольнике $%MCD$%), где наши стороны будут гипотенузами. Площадь $%CMN$% пожно найти по формуле: $%S_{CMN}=\frac{1}{2}CM\times MN\times sin\angle CMN$%, так как стороны равны, и все углы по $%60$% градусов, то имеем: $%S_{CMN}=\frac{1}{2}CM^2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{cos^215}\times \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2}{1+cos30}\times \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-3$%.

ссылка

отвечен 10 Апр '14 0:13

изменен 10 Апр '14 14:11

@kirill1771: проверьте самое последнее равенство.

(10 Апр '14 0:50) falcao

@falcao:проверил, спасибо.

(10 Апр '14 13:07) kirill1771
1

@kirill1771: там если записывать ответ в другом виде, то надо избавиться от иррациональности в знаменателе стандарным образом, домножив числитель и знаменатель на "сопряжённое" число, то есть на $%2-\sqrt3$%. Тогда получится $%\sqrt3(2-\sqrt3)=2\sqrt3-3$%. Это примерно 0,46, то есть чуть меньше половины.

(10 Апр '14 13:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024
×760
×259

задан
9 Апр '14 23:13

показан
971 раз

обновлен
11 Апр '14 2:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru