неравенства - Найдите все значения параметра $%a$%, при каждом из которых число целочисленных решений ...

Могу предложить следующее аналитическое решение. Для удобства заменим $%a$% на $%-b$%. В самом конце надо будет вспомнить по смену знака.

Неравенство можно записать в виде $%3|x+b|\le-x^2-5x-5+b$%. Устраняем модуль, опираясь на тот факт, что условие $%|u|\le v$% равносильно двойному неравенству $%-v\le u\le v$% (это верно для любых чисел: при отрицательном $%v$% оба неравенства не имеют решений).

Преобразуя неравенство $%x^2+5x+5-b\le3x+3b\le-x^2-5x-5+b$%, приходим к системе из двух условий: $%(x+1)^2\le4b-4$% и $%(x+4)^2\le11-2b$%. Надо понять, при каких значениях $%b$% у этой системы будет максимальное число целочисленных решений относительно $%x$%.

Прежде всего, $%1\le b\le\frac{11}2$%, если решения вообще есть. Если мы хотим, чтобы общих целочисленных решений было больше одного, то необходимо, чтобы каждое из неравенств имело более одного такого решения. А это означает, что $%4b-4\ge1$% и $%11-2b\ge1$%, то есть $%\frac54\le b\le5$%. Отметим следующий факт, справедливость которого легко следует из анализа расположения точек на числовой прямой: если ни $%x=-1$%, ни $%x=-4$% не является решением системы, но общими целочисленными решениями могут оказаться только числа $%-3$% и $%-2$%. Значит, если мы хотим, чтобы решений было больше (а оно в итоге так и окажется), надо потребовать, чтобы хотя бы одно из чисел $%x=-4$%, $%x=-1$% было решением обеих неравенств системы. Во втором случае получается $%3^2\le11-2b$%, то есть $%b\le1$%, а это нам не подходит. Значит, должно иметь место неравенство $%3^2\le4b-4$%, откуда $%b\ge\frac{13}4$%.

Далее можно рассмотреть случай, когда $%x=-5$% также оказывается решением первого неравенства системы (в рамках анализа того, насколько далеко могут продолжаться влево на числовой прямой эти решения). Здесь возникает неравенство $%4^2\le4b-4$%, то есть $%b\ge5$%. В силу того, что было сказано выше, это возможно лишь при $%b=5$%, и здесь прямо проверяется, что общих целочисленных решений будет три: $%x\in\{-5;-4;-3\}$%. Теперь надо проверить, в каких ещё случаях их может быть три или больше.

При $%b < 5$% число $%x=-5$% общим решением уже не будет, и тогда единственным вариантом оказывается, что общими решениями будут числа $%x\in\{-4;-3;-2\}$%, так как выше было замечено, что до числа $%x=-1$% общие решения не доходят. Сказанное будет иметь место, если $%x=-2$% будет решением второго неравенства, то есть при $%2^2\le11-2b$%, что равносильно $%b\le\frac72$%. Таким образом, максимальное число целочисленных решений равно трём, и помимо случая $%b=5$% это имеет место при $%\frac{13}4\le b\le\frac72$%.

Меняя знаки, имеем такой ответ: $%a\in\{-5\}\cup[-\frac72;-\frac{13}4]$%.

Заметим также, что здесь основной момент состоит в составлении системы двух квадратичных неравенств. Далее уже не составляет труда просто проверить, при каких значениях параметра то или иное число $%x$% будет общим решением. Там во всех случаях получаются числа из окрестности точек $%x=-4$% и $%x=-1$%, поэтому надо просто смотреть, насколько велики могут быть эти окрестности в зависимости от значений параметра, и какова их общая часть.