Найдите все значения параметра $%a$%, при каждом из которых число целочисленных решений неравенства $%x^2+5(x+1)+3|x-a|+a \leq0$% максимально.

Меня интересует аналитический метод решения, я же решил графически: в двух случаях представил функцию $%a$% от $%x$%, построил графики на плоскости $%OXA$% и нашел ответ.

задан 9 Апр '14 23:20

изменен 9 Апр '14 23:52

требуется закончит предложение "число целочисленных решений неравенства...."

(9 Апр '14 23:23) nynko

@nynko: извините, исправил.

(9 Апр '14 23:34) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
3

Могу предложить следующее аналитическое решение. Для удобства заменим $%a$% на $%-b$%. В самом конце надо будет вспомнить по смену знака.

Неравенство можно записать в виде $%3|x+b|\le-x^2-5x-5+b$%. Устраняем модуль, опираясь на тот факт, что условие $%|u|\le v$% равносильно двойному неравенству $%-v\le u\le v$% (это верно для любых чисел: при отрицательном $%v$% оба неравенства не имеют решений).

Преобразуя неравенство $%x^2+5x+5-b\le3x+3b\le-x^2-5x-5+b$%, приходим к системе из двух условий: $%(x+1)^2\le4b-4$% и $%(x+4)^2\le11-2b$%. Надо понять, при каких значениях $%b$% у этой системы будет максимальное число целочисленных решений относительно $%x$%.

Прежде всего, $%1\le b\le\frac{11}2$%, если решения вообще есть. Если мы хотим, чтобы общих целочисленных решений было больше одного, то необходимо, чтобы каждое из неравенств имело более одного такого решения. А это означает, что $%4b-4\ge1$% и $%11-2b\ge1$%, то есть $%\frac54\le b\le5$%. Отметим следующий факт, справедливость которого легко следует из анализа расположения точек на числовой прямой: если ни $%x=-1$%, ни $%x=-4$% не является решением системы, но общими целочисленными решениями могут оказаться только числа $%-3$% и $%-2$%. Значит, если мы хотим, чтобы решений было больше (а оно в итоге так и окажется), надо потребовать, чтобы хотя бы одно из чисел $%x=-4$%, $%x=-1$% было решением обеих неравенств системы. Во втором случае получается $%3^2\le11-2b$%, то есть $%b\le1$%, а это нам не подходит. Значит, должно иметь место неравенство $%3^2\le4b-4$%, откуда $%b\ge\frac{13}4$%.

Далее можно рассмотреть случай, когда $%x=-5$% также оказывается решением первого неравенства системы (в рамках анализа того, насколько далеко могут продолжаться влево на числовой прямой эти решения). Здесь возникает неравенство $%4^2\le4b-4$%, то есть $%b\ge5$%. В силу того, что было сказано выше, это возможно лишь при $%b=5$%, и здесь прямо проверяется, что общих целочисленных решений будет три: $%x\in\{-5;-4;-3\}$%. Теперь надо проверить, в каких ещё случаях их может быть три или больше.

При $%b < 5$% число $%x=-5$% общим решением уже не будет, и тогда единственным вариантом оказывается, что общими решениями будут числа $%x\in\{-4;-3;-2\}$%, так как выше было замечено, что до числа $%x=-1$% общие решения не доходят. Сказанное будет иметь место, если $%x=-2$% будет решением второго неравенства, то есть при $%2^2\le11-2b$%, что равносильно $%b\le\frac72$%. Таким образом, максимальное число целочисленных решений равно трём, и помимо случая $%b=5$% это имеет место при $%\frac{13}4\le b\le\frac72$%.

Меняя знаки, имеем такой ответ: $%a\in\{-5\}\cup[-\frac72;-\frac{13}4]$%.

Заметим также, что здесь основной момент состоит в составлении системы двух квадратичных неравенств. Далее уже не составляет труда просто проверить, при каких значениях параметра то или иное число $%x$% будет общим решением. Там во всех случаях получаются числа из окрестности точек $%x=-4$% и $%x=-1$%, поэтому надо просто смотреть, насколько велики могут быть эти окрестности в зависимости от значений параметра, и какова их общая часть.

ссылка

отвечен 11 Апр '14 3:20

@falcao, Думаю, Вы согласитесь с тем, что решать такие задачи "аналитически" - в какой-то степени мазохизм. И гораздо сложнее, чем с использованием графической интерпретации. Оправданием может служить лишь тренировка логического мышления

(11 Апр '14 9:35) nynko

@falcao: спасибо большое, сейчас буду разбирать.

(11 Апр '14 11:10) kirill1771

@nynko: я могу согласиться с тем, что многие задачи предлагаются из расчёта, что они будут решаться графическим способом. Почти везде, где графики имеют простые свойства (прямые, окружности, параболы), такой способ естественнее, и на практике лучше использовать его. Что касается данной конкретной задачи, то она оказалась достаточно интересной сама по себе. Я сначала разбирал случаи типа $%x\ge a$% и $%x < a$%; получалось ужасно длинно и некрасиво. Оформлять это я даже не стал. Но потом возникла идея избавления от модуля, и оказалось, что такой путь не слишком сложен.

(11 Апр '14 12:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Возможное решение: В системе координат $%(x,a)$% строим фигуру, удовлетворяющую исходному неравенству. Раскрывая модуль это сделать нетрудно. Получится фигура, ограниченная двумя параболами: $%a=x^2/2+4x+5/2$% - нижняя граница и $%a=-x^2/2-x/2-5/4$% - верхняя граница. Фигура определена при $%-5\leq x\leq-1$%. Дальнейшее решение удобно, если глядеть на эту фигуру. Достаточно провести прямые $%x={-5;-4;-3;-2;-1}$% и провести горизонтальные прямые в характерных точках."Характерные" точки - это те, в которых пересекают одну из граничных веток параболы горизонтальные прямые $%x={-5;-4;-3;-2;-1}$%. Три целые решения (именно $%{-5;-4;-3}$%) будут при $%a =-5$%, Кроме того, при $%-3,25\leq a\leq-3.5$% тоже будет три целых решения (именно$%{-4;-3;-2}$%. Таким образом, ответ при $%a=-5$% или $%-3,25 \leq a \leq-3.5$%

ссылка

отвечен 10 Апр '14 13:02

изменен 10 Апр '14 13:19

kirill1771's gravatar image


5.4k728

2

@nynko: спасибо, но я тоже решил графически. Интересен аналитический метод решения. (Если в скором времени не будет больше ответа с аналитическим решением, приму Ваш).

P.S. я немного подкорректировал оформление для более удобного отображения решения.

(10 Апр '14 13:10) kirill1771

@nynko: надо сменить знаки у чисел в неравенстве (ввиду того, что $%-3,25 > -3,5$%).

(11 Апр '14 3:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×484
×424
×241

задан
9 Апр '14 23:20

показан
2093 раза

обновлен
11 Апр '14 12:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru