|
$%a,b,c,d$% - действительные числа $$a \ne b, b \ne c , c \ne d , a \ne d$$ $$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-d)^2}+\frac{1}{(d-a)^2}=1$$ найти минимальное значение $$a^2+b^2+c^2+d^2$$ задан 10 Апр '14 21:04 
parol |
|
Пусть $%x$%, $%y$% -- положительные числа. Тогда $%\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}\ge\frac4{x+y}$% как следствие неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Применяя несколько раз это неравенство, получаем, что для положительных чисел в знаменателе справедливо следующее: $%\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\frac1{x_4}\ge\frac4{x_1+x_2}+\frac4{x_3+x_4}\ge\frac{16}{x_1+x_2+x_3+x_4}$%. Поэтому, если сумма величин в левой части равна 1, то знаменатель дроби в правой части не меньше 16. Отсюда, применительно к числам из условия задачи, получаем $%(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2\ge16$%. Применим теперь неравенства типа $%2(a^2+b^2)\ge(a-b)^2$% (это переформулировка условия $%(a+b)^2\ge0$%). Получится, что $%4(a^2+b^2+c^2+d^2)=2(a^2+b^2)+2(b^2+c^2)+2(c^2+d^2)+2(d^2+a^2)$%, и эта величина не меньше, чем $%(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2\ge16$%. Отсюда следует, что $%a^2+b^2+c^2+d^2\ge4$%. Значение $%4$% достигается при $%a=1$%, $%b=-1$%, $%c=1$%, $%d=-1$%: равенство из условия задачи при этом выполняется, вместе со всеми ограничениями на числа. Следовательно, $%4$% будет минимальным значением. отвечен 11 Апр '14 2:44 
falcao спасибо , а мне интересно а ее можно как нибудь другим образом решить. По другим каким нибудь соображениям , что то вроде функций какой та
(11 Апр '14 15:43)
parol
Я не знаю, какой способ Вы имеете в виду. Здесь были применены стандартные неравенства о среднем школьного типа, то есть не было даже вещей типа общего неравенства Иенсена. Последняя фраза у Вас "оборвана", поэтому я не могу угадать, что имелось в виду.
(11 Апр '14 16:03)
falcao
то есть как то представить в виде функций некой и затем исследовать ее
(11 Апр '14 16:04)
parol
Такого рода подход иногда применим, но в данном случае имеется ограничение в виду равенства. Это задача на нахождение условного экстремума, и в общем виде она может быть решена при помощи метода множителей Лагранжа. Но он, во-первых, в школе не изучается, а во-вторых, там получается очень сложная система уравнений (после нахождения частных производных возникают третьи степени в знаменателе). Этого всего делать явно не надо. И вообще, нахождение минимального значения часто подразумевает доказательство неравенства с проверкой того, что минимум где-то достигается. Это стандартный подход.
(11 Апр '14 16:16)
falcao
|
@parol, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.