Есть следующая теорема:

Пусть $%1\leq p <\infty$% и $%\alpha < p-1$%. Если $%f\in L_1(0,T)$% и $%F(t)=\int\limits_0^tf(s)ds$%, то $$\int\limits_0^T\left|\frac{F(t)}{t}\right|^pt^\alpha dt\leq\left(\frac{p}{p-1-\alpha}\right)^p\int\limits_0^T|f(t)|^pt^\alpha dt$$

В книге написано, что доказывается интегрированием по частям.

Первый шаг я сделал

$$\int\limits_0^T|F(t)|^pt^{\alpha-p}dt=\left\{\begin{array}& u=|F(t)|^p & du=p|F(t)|^{p-1}f(t)\\dg=t^{\alpha-p}dt & g=\frac{t^{1-p+\alpha}}{1-p+\alpha}\end{array}\right\}=\\=C+\frac{p}{p-1-\alpha}\int\limits_0^T |F(t)|^{p-1}\operatorname{sgn} F(t) f(t)t^{\alpha-p+1}dt, C < 0$$

Дальше я завис: откуда взять модуль $%f$%, как избавиться от сигнума и как дальше интегрировать по частям?

задан 11 Апр '14 9:27

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%I$% -- оцениваемый интеграл. То выражение, которое у Вас получилось, заменяем его оценкой сверху, отбрасывая сначала константу $%C$%, а затем заменяя интеграл на его модуль, а его -- на интеграл от модуля. Тогда сигнум исчезает за счёт того, что он по модулю не превосходит единицы. Получается оценка $$I\le\frac{p}{p-1-\alpha}\int\limits_0^T\left|\frac{F(t)}{t}\right|^{p-1}|f(t)|t^{\alpha}\,dt.$$ Далее надо подынтегральное выражение представить в виде произведения функций $%g(t)=|f(t)|t^{\alpha/p}$% и $%h(t)=\left|\frac{F(t)}{t}\right|^{p-1}t^{\alpha/q}$%, где $%1/p+1/q=1$%. Применяя неравенство Гёльдера в виде $$\int\limits_0^Tg(t)h(t)\,dt\le\left(\int\limits_0^Tg(t)^p\right)^{1/p}\left(\int\limits_0^Th(t)^q\right)^{1/q},$$ приходим к неравенству $$I\le\frac{p}{p-1-\alpha}\left(\int\limits_0^T|f(t)|^pt^{\alpha}\right)^{1/p}I^{1/q}$$ (за счёт того, что $%(p-1)q=p$%). Осталось возвести в степень $%p$% и упростить.

ссылка

отвечен 11 Апр '14 15:58

изменен 11 Апр '14 17:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×315
×310

задан
11 Апр '14 9:27

показан
1049 раз

обновлен
11 Апр '14 17:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru