стереометрия - Сфера, вписанная в треугольную пирамиду

Здесь может быть три варианта "разметить" ребра, причем не имеет значения, какой из них выбрать, так как остальные ребра равны $%7$%, то есть мы сможем "покрутить" пирамиду каким-то способом, что получиться нужный нам вариант, поэтому я сделаю следующую разметку:

Найдем сначала радиус по формуле $%R=\frac{3V_{пирам.}}{S_{пол.пов.}}$%, то есть через объем и площадь полной поверхности. Для этого нам известны все стороны, кроме высоты $%DH$%, найдем ее:
проведем две биссектронные плоскости:

$%O$% - центр сферы, плоскость $%DEB$% перпендикулярна $%AC$%, так как разделяет угол $%ABC$% пополам, и треугольник $%ABC$% - равнобедренный, аналогично с плоскостью $%ATC$% и $%DB$%. $%DE=\sqrt{13}$%, рассмотрим треугольник $%EDB$%, в котором проведем высоту $%DH$%, которая будет высотой пирамиды (так как плоскость $%ABC$% перпендикулярна плоскости $%DBE$%, а $%DH$% принадлежит последней плоскости), еще в нем будет высота $%ET$%, проведенная к $%DB$%: $%ED=EB=\sqrt{13}$%, $%ET=3$%в (все стороны находили через теорему Пифагора в разных треугольниках). Найдем площадь по формуле$%S_{EDB}=1/2\times DB\times ET=6$%, так же ее (площадь) можно выразить через формулу $%S_{EDB}=1/2 \times EB \times DB \times sin\angle DBE=2\sqrt{13}\times sin\angle DBE=6 \Leftrightarrow sin\angle DBE=\frac{3}{\sqrt{13}}$%, а $%sin\angle DBE=\frac{DH}{DB} \Leftrightarrow DH=\frac{12}{\sqrt{13}}$%, тогда $%V=1/3\times DH \times S_{ABC}=1/3\times \frac{12}{\sqrt{13}} \times \frac{\sqrt{13}}{3}=\frac{4}{3}$%, а $%S_{пол.пов.}=12(\sqrt{13}+\sqrt{5})$%, тогда $%R=\frac{6}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$%;
Пусть точка касания сферы и плоскости $%ABC$% - $%K$%, тогда $%OK$% - радиус сферы и перпендикуляр к этой плоскости , так же он лежит в плоскости $%EDB$%, так как центр сферы лежит на пересечении двух биссекторных плоскостей (которые мы проводили в начале). Тогда треугольники $%EOP$% и $%ETB$% подобны по трем углам, следовательно $%\frac{OE}{EB}=\frac{OK}{TB} \Leftrightarrow OE=\frac{OK\times EB}{TB}=\frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$%, $%OE$% и является этим расстоянием.

Все грани данной пирамиды равнобедренные треугольники с заданными сторонами. Высоты и площади этих треугольников @Uchenitsa может сама вычислить. Далее $%S_{пол}=2S_{ABC}+2S_{ABD}=12\sqrt{13}+12\sqrt{5}=12(\sqrt{13}+\sqrt{5})$%

$%h=DH=\frac{2S_{EBD}}{BE}=\frac{12}{\sqrt{13}}, V=\frac13 S_{ABC}\cdot h=24$%

Есть формула $%V=\frac13S_{пол}\cdot r \Rightarrow r=OK=\frac{3V}{S_{пол}}=\frac6{\sqrt{13}+\sqrt{5}}=\frac34(\sqrt{13}-\sqrt{5}).$%

$%\triangle EKO\sim \triangle EFB\Rightarrow \frac{EO}{EB}=\frac{OK}{FB}\Rightarrow EO=\frac{{EB}\cdot{OK}}{FB}=\frac38(13-\sqrt{65}).$%