1
1

В треугольной пирамиде два непересекающихся ребра равны $%12$% и $%4$%, остальные ребра имеют длину $%7$%. В пирамиду вписана сфера. Найдите расстояние от центра сферы до ребра длины $%12$%.

задан 12 Апр '14 0:05

1

Спасибо большое за ответы!

(13 Апр '14 0:33) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
3

Я сначала нашёл полную площадь боковой поверхности и объём. Через эти величины находится радиус вписанной сферы. Через него уже несложно выразить требуемое расстояние. Однако есть более простой способ, опирающийся на теорему Пифагора.

Рассмотрим грань со сторонами 7, 7, 12. Высота равна $%\sqrt{13}$%. У грани со сторонами 7, 7, 4 высота равна $%3\sqrt5$%.

Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро длиной 4 и середину ребра длиной 12. Это плоскость симметрии, являющаяся равнобедренным треугольником со сторонами $%\sqrt{13}$%, $%\sqrt{13}$%, $%4$%. Центр $%O$% вписанной сферы лежит в этой плоскости, и в сечении возникает большой круг, касающийся боковых сторон. Значит, он удалён от них на расстояние $%r$% (радиус сферы). Пусть $%x$% -- расстояние до вершины (то есть до середины ребра длиной $%12$%). Из подобия прямоугольных треугольников, $%x:r=\sqrt{13}:2$%.

Аналогично, рассматривая сечение плоскостью, проходящей через ребро длиной 12 и середину ребра длиной 4, получаем плоскость симметрии, являющаяся равнобедренным треугольником со сторонами $%3\sqrt{5}$%, $%3\sqrt{5}$%, $%12$%. Точка $%O$% также лежит в этой плоскости, и в сечении также возникает большой круг, касающийся боковых сторон. Он удалён от них на расстояние $%r$%, и если $%y$% -- от $%O$% до середины ребра длиной $%4$%, то снова из подобия имеем $%y:r=3\sqrt{5}:6=\frac{\sqrt5}2$%.

Осталось заметить, что высота этого треугольника равна трём, а концами её являются середины рёбер, имеющих длины 4 и 12. Тем самым, $%x+y=3$%, откуда можно найти $%x$%. Мы знаем, что $%y=\frac{r\sqrt5}2=x\sqrt{\frac5{13}}$%, поэтому $%x=\frac3{1+\sqrt{\frac5{13}}}=\frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt5}=\frac38(13-\sqrt{65})$%.

ссылка

отвечен 12 Апр '14 13:09

@falcao: а как Вы пришли к тому, что можно решить короче? Как Вы увидели другой способ?

(12 Апр '14 17:07) kirill1771
1

@kirill1771: дело было так. Я вчера поздно вечером решил эту задачу первым способом (то есть через объём). Чертежа при этом не делал даже на черновике -- просто "в уме" посчитал. А сегодня утром шёл на работу, и понял, что всё сводится к вычислениям для двух равнобедренных треугольников -- которые у Вас ATC и BED. Интересно то, что я их в сознании представлял себе по отдельности, и отдельно считал для них высоты, где оба раза получилось 3. И потом уже, в процессе написания решения, было осознано, что их высота -- это общий отрезок :)

(12 Апр '14 17:28) falcao

@falcao: такую задачу "в уме" решать - это для меня очень удивительно, у Вас значит еще кратковременная память и визуализация очень хорошего уровня. Вообще интересно, как кто-то к другому способу приходит.

(12 Апр '14 17:39) kirill1771

@kirill1771: Вы абсолютно точно охарактеризовали положение дел. Именно "кратковременная память" и "визуализация" -- я пользуюсь в точности этими средствами. При этом либо я что-то ясно вижу (и потом описываю это словами), либо не вижу вообще. Поэтому мне крайне трудно бывает что-то "сообразить". Уровень "смекалки" -- обычная для людей вещь -- у меня находится на нуле (проверено многократно: если я чего-то сразу не вижу, то до меня "доходит" самым последним :))

(12 Апр '14 17:56) falcao

@falcao: а у Вас эти "навыки" развиты от рождения, или так как часто применяете, или тренировали?

(12 Апр '14 18:29) kirill1771
1

@kirill1771: я ничего специально не тренировал. Просто шёл, как это говорится, "по пути наименьшего сопротивления". То есть делал всё так, как у меня лучше получается. Это свойство в каком-то смысле "врождённое", потому что если у меня что-то плохо получается, то я сразу же бросаю (или не берусь за это). Так было и в мои 15 лет, и в 50.

(12 Апр '14 18:34) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
5

Здесь может быть три варианта "разметить" ребра, причем не имеет значения, какой из них выбрать, так как остальные ребра равны $%7$%, то есть мы сможем "покрутить" пирамиду каким-то способом, что получиться нужный нам вариант, поэтому я сделаю следующую разметку:
alt text
Найдем сначала радиус по формуле $%R=\frac{3V_{пирам.}}{S_{пол.пов.}}$%, то есть через объем и площадь полной поверхности. Для этого нам известны все стороны, кроме высоты $%DH$%, найдем ее:
проведем две биссектронные плоскости:
alt text
$%O$% - центр сферы, плоскость $%DEB$% перпендикулярна $%AC$%, так как разделяет угол $%ABC$% пополам, и треугольник $%ABC$% - равнобедренный, аналогично с плоскостью $%ATC$% и $%DB$%. $%DE=\sqrt{13}$%, рассмотрим треугольник $%EDB$%, в котором проведем высоту $%DH$%, которая будет высотой пирамиды (так как плоскость $%ABC$% перпендикулярна плоскости $%DBE$%, а $%DH$% принадлежит последней плоскости), еще в нем будет высота $%ET$%, проведенная к $%DB$%: $%ED=EB=\sqrt{13}$%, $%ET=3$%в (все стороны находили через теорему Пифагора в разных треугольниках). Найдем площадь по формуле$%S_{EDB}=1/2\times DB\times ET=6$%, так же ее (площадь) можно выразить через формулу $%S_{EDB}=1/2 \times EB \times DB \times sin\angle DBE=2\sqrt{13}\times sin\angle DBE=6 \Leftrightarrow sin\angle DBE=\frac{3}{\sqrt{13}}$%, а $%sin\angle DBE=\frac{DH}{DB} \Leftrightarrow DH=\frac{12}{\sqrt{13}}$%, тогда $%V=1/3\times DH \times S_{ABC}=1/3\times \frac{12}{\sqrt{13}} \times \frac{\sqrt{13}}{3}=\frac{4}{3}$%, а $%S_{пол.пов.}=12(\sqrt{13}+\sqrt{5})$%, тогда $%R=\frac{6}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$%;
Пусть точка касания сферы и плоскости $%ABC$% - $%K$%, тогда $%OK$% - радиус сферы и перпендикуляр к этой плоскости , так же он лежит в плоскости $%EDB$%, так как центр сферы лежит на пересечении двух биссекторных плоскостей (которые мы проводили в начале). Тогда треугольники $%EOP$% и $%ETB$% подобны по трем углам, следовательно $%\frac{OE}{EB}=\frac{OK}{TB} \Leftrightarrow OE=\frac{OK\times EB}{TB}=\frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$%, $%OE$% и является этим расстоянием.

ссылка

отвечен 12 Апр '14 15:18

изменен 12 Апр '14 15:29

10|600 символов нужно символов осталось
4

alt text

Все грани данной пирамиды равнобедренные треугольники с заданными сторонами. Высоты и площади этих треугольников @Uchenitsa может сама вычислить. Далее $%S_{пол}=2S_{ABC}+2S_{ABD}=12\sqrt{13}+12\sqrt{5}=12(\sqrt{13}+\sqrt{5})$%

$%h=DH=\frac{2S_{EBD}}{BE}=\frac{12}{\sqrt{13}}, V=\frac13 S_{ABC}\cdot h=24$%

Есть формула $%V=\frac13S_{пол}\cdot r \Rightarrow r=OK=\frac{3V}{S_{пол}}=\frac6{\sqrt{13}+\sqrt{5}}=\frac34(\sqrt{13}-\sqrt{5}).$%

$%\triangle EKO\sim \triangle EFB\Rightarrow \frac{EO}{EB}=\frac{OK}{FB}\Rightarrow EO=\frac{{EB}\cdot{OK}}{FB}=\frac38(13-\sqrt{65}).$%

ссылка

отвечен 12 Апр '14 13:37

изменен 12 Апр '14 13:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×524
×90
×55

задан
12 Апр '14 0:05

показан
2417 раз

обновлен
13 Апр '14 0:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru