0
1

Если медианы треугольника лежат на прямых y=x,y=2x ,y=3x , а наименьшая сторона треугольника равна 2, то площадь этого треугольника равна …

задан 13 Апр '14 10:58

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть вершины треугольника $%A(a;a),B(b;2b),C(c;3c).$% Основания медиан середин соотв. сторон- $%A_1(\frac{b+c}2;\frac{2b+3c}2),B_1(\frac{a+c}2;\frac{a+3c}2),C_1(\frac{b+a}2;\frac{2b+a}2). $% Так-как эти точки принадлежат прямым $%y=x;y=2x;y=3x$% соответственно, то получаем систему

$%\begin{cases}\frac{b+c}2=\frac{2b+3c}2 \\\frac{a+3c}2= \frac{2a+2c}2\\\frac{2b+a}2=\frac{3b+3a}2 \end{cases}\Leftrightarrow a=c=-b/2.$%

$%A(a;a),B(-2a;-4a),C(a;3a).$%

Найдем расстояния этих точек. $%AB=|a|\sqrt{34},AC=2|a|,BC=|a|\sqrt{58}.$%

Наименьшая сторона $%AC=2|a|=2 \Rightarrow |a|=1.$% Теперь известны 3 стороны треугольника $%AB=\sqrt{34},AC=2,BC=\sqrt{58},$%(выполняется неравенство треугольника) и нетрудно найти площадь. $%cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}=-\frac5{\sqrt{34}}, sin A=\sqrt{1-cos^2A}=\frac3{\sqrt{34}}.$%

$%S=\frac12 AB\cdot AC sinA=\frac12 \sqrt{34}\cdot 2 \cdot \frac3{\sqrt{34}}=3.$%

ссылка

отвечен 13 Апр '14 12:05

изменен 13 Апр '14 15:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

Точка пересечения медиан лежит на всех трех прямых, следовательно является точкой пересечения трех заданых прямых, это точка $%(0;0)$%. Координаты точки пересечения медиан есть среднее арифметическое координат вершин, т.е. $%x_m=(x_1+x_2+x_3)/3$%, аналогично и другая координата. Пусть координаты вершины $%C(x_0;y_0)$% лежит на прямой $%y=x$%, т.е.$%C(x_0;x_0)$%, координаты $%B(x_1;3x_1)$% лежит на прямой $%y=3x$%,тогда координаты третьей точки $%A(x_2;2x_2)$% в связи с координатами медианы удовлетворяют $%0=(x_0+x_1+x_2)/3$%, откуда $%x_2=-x_0-x_1,y_2=-y_0-y_1, 2x_2=-x_0-3x_1$%,вторая координата в 2 раза больше первой, сравниваем, решаем, имеем $%x_1=x_0$%. Тогда точки имеют координаты $%C(x_0;x_0)$%, $%B(x_0;3x_0), A(-2x_0;-4x_0)$%. Ищем координаты векторов $%AB=(3x_0,7x_0),BC=(0;-2x_0),AC(3x_0;5x_0)$%, находим их длины, убеждаемся, что наименьшим есть вектор $%BC$%. Его длина равна двум, откуда два значения для $%x_0=+-1$%, площадь треугольника при этом не меняется, меняется его положение (симметрия относительно начала координат). Теперь мы знаем координаты всех точек $%A(-2;-4), B(1;3), C(1,1)$%. Дальше нетрудно через крайние точки провести горизонтальные и вертикальные линии, заключив треугольник в прямоугольник. Найти площадь прямоугольника и отнять площади маленьких прямоугольных треугольников. Можно и по Герону, но хуже, можно через определитель (векторное произведение).Можно заметить, что высота треугольника, проведеная к $%BC$% равна расстоянию от $%A$% до вертикальной прямой $%BC$%, это есть разность абсцис точек, т.е. высота равна трем. Ответ $%3$%.

ссылка

отвечен 13 Апр '14 11:52

изменен 13 Апр '14 14:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,131

задан
13 Апр '14 10:58

показан
638 раз

обновлен
13 Апр '14 15:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru