алгебра - Доказать теорему

Известно, что для любых взаимно простых чисел $%a$%, $%b$% найдутся такие целые $%u$%, $%v$%, для которых $%au+bv=1$% (обратное, кстати, также верно, что сразу очевидно).

Пусть $%z$% -- комплексное число, являющееся корнем степени $%ab$% из единицы. По определению, это означает, что $%z^{ab}=1$%. Тогда $%z^b$% будет корнем степени $%a$% из единицы (поскольку $%(z^b)^a=z^{ab}=1$%, и аналогично для $%z^a$%: это число является примером корня степени $%b$% из единицы.

Из определения сразу следует, что если какое-то число есть корень $%n$%-й степени из $%1$%, то любая его степень с целым показателем также обладает этим свойством. Таким образом, $%z=z^{au+bv}=(z^b)^v\cdot(z^a)^u$% есть произведение корня степени $%a$% из единицы на корень степени $%b$% из единицы.