2
1

в клетках таблицы 2013*2013стоят числа 0 1 2 монут . Считаем сумму цифр в каждой строке и столбце. Может ли случиться, что эти суммы в столбцах и строках быть различныпринимают все значения от 1 до 4026.

задан 13 Апр '14 13:08

изменен 14 Апр '14 22:30

Deleted's gravatar image


126

Числа стоят в такм порядке, в котором написаны, или могут быть "вразнобой"? И они должны быть различны для каждой строки с столбца или можно найти хотя бы одну пару различных значений?

(13 Апр '14 13:29) kirill1771

Исправил условие

(13 Апр '14 13:48) klach1996

@klach1996: обновил ответ.

(13 Апр '14 14:20) kirill1771

@klach1996: а куда исчезло условие?!

(13 Апр '14 14:45) falcao
1

@klach1996, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(14 Апр '14 11:28) sly
10|600 символов нужно символов осталось
3

Если достаточно определить хотя бы одну пару столбец-строка, с различными значениями сумм, то рассмотрим два случая: к огда числа стоят распорядоченно, тогда можно доказать, если в один столбец поставить $%2013$% нули, а в одну строку $%2012$% единиц (так как $%0$% уже есть в одном столбце), то их суммы будут различными.
Во втором случае, когда цифры стоят по порядку, рассмотрим первую строку: так как в ней всего $%2013$% ячеек, а это число делится на три, то есть у нас будет $%2013/3=671$% нулей, единиц и двоек, тогда сумма первой строки будет $%671\times0+671\times1+671\times2=2013$%, так же стоит заметить, что эта сумма будет у кажой строки, так как после первой цикл $%0,1,2$% будет начинаться заново, то есть у каждой строки будет эта же сумма, тогда как у столбцов суммы могут быть равны $%0;2013,4026$%, то есть, если сравнивается строка и столбец, где цифры не единицы, то их суммы будут различными.

Так как условие было исправлено, то дополняю, точнее можно сказать пишу новый ответ, так как прошлый никак не относится к новому условию.
Если мы по диагонили поставим все единицы (их будет $%2013$%), то сумма в любой строке и столбцу будет больше или равна единицы, далее, как было написано выше, сумма строке или столбце будет равна $%4026$%, если в каждой ячейке стоит цифра $%2$%, а так как у нас, с учетом первого действия, в каждой строке или кждом столбце найдется одна единица, то сумма точно будет меньше $%4026$%, то есть можно расставить цифры таким образом, чтобы сумма в кждой строки или каждом столбце соответствовали данному интервалу.

ссылка

отвечен 13 Апр '14 13:41

изменен 13 Апр '14 13:53

Исправил условие, порядок уифр любой

(13 Апр '14 13:42) klach1996
10|600 символов нужно символов осталось
0

Предположим, что числа удалось требуемым образом расставить. Тогда если сложить вместе суммы чисел каждой строки, то получится сумма всех чисел квадрата. То же самое будет, если сложить вместе суммы чисел каждого столбца. Значит, эти величины равны. Отсюда следует, что числа от 1 до $%2n$%, где $%n=2013$%, должна быть чётной (так как значения сумм не повторяются). Однако, согласно известной формуле, $%1+2+\cdots+2n=n(2n+1)$%, и это число нечётно. Отсюда следует, что требуемая расстановка невозможна (причём не только с участием чисел 0, 1, 2, а каких угодно).

ссылка

отвечен 14 Апр '14 19:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,131

задан
13 Апр '14 13:08

показан
1773 раза

обновлен
14 Апр '14 19:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru