|
Есть прямоугольник со сторонами $%2$% и $%1$%. На больших сторонах построили полуокружности как на диаметре (они находятся в прямоугольнике, и каждая из них касается противоположной стороны). Найти площадь общей части полуокружностей. задан 13 Апр '14 19:05 
student |
|
Окружность (как и полуокружность) -- это линия. Её площадь равна нулю. Имеется в виду полукруг, а не полуокружность. Фигура естественным образом разбивается на 2 равных круговых сегмента. Площадь сегмента легко находится как разность площадей сектора и треугольника. Площадь сектора зависит от угла. В данной задаче он равен 120 градусам, что легко проверяется многими способами (например, через рассмотрение правильных треугольников со стороной 1, или треугольников, у которых гипотенуза равна 1, а катет равен 1/2). Таким образом, сектор имеет площадь $%\frac{\pi}3$%. Вычитаем из него площадь треугольника, которая равна $%\frac{\sqrt3}4$%. Удваиваем разность, и результат будет равен $%\frac{2\pi}3-\frac{\sqrt3}2$%. отвечен 13 Апр '14 19:22 
falcao @falcao, я не очень понял момент с рассмотрением треугольников. Вот, допустим,
я понял, что там получается половина угла сектора 60 градусов, поэтому весь угол - 120. Но откуда Вы взяли этот треугольник?
(13 Апр '14 19:40)
student
Мне не хотелось писать буквенные обозначения. Я считал, что из рисунка всё должно быть очевидно. Рассмотрим отрезок посередине, делящий прямоугольник на два квадрата. Он имеет длину 1. Справа от него имеется точка пересечения полуокружностей. Рассмотрим треугольник с этой вершиной и с отрезком как стороной. Ясно, что там все стороны имеют длину 1, и возникает угол 60 градусов. То же самое слева. Итого 120. Половинкой прямоугольного треугольника будет тот, о котором Вы спросили. О нём можно было не упоминать вообще-то. Я это сделал только для того, чтобы яснее было происхождение $%\sqrt3/4$%.
(13 Апр '14 19:50)
falcao
|