Найти все пары простых чисел $%p$% и $%q$%, для которых $%p^2-6q^2 = 1$%.

задан 13 Апр '14 19:49

изменен 13 Апр '14 20:10

10|600 символов нужно символов осталось
3

Ясно, что $%p\ne2$%. Тогда $%(p-1)(p+1)=6q^2$%, и оба сомножителя в левой части чётны. Значит, $%6q^2$% делится на $%4$%, откуда $%q$% чётно, то есть $%q=2$%, $%p=5$%.

Интересно, кстати, было бы все решения в натуральных числах найти. Думаю, что их бесконечно много.

ссылка

отвечен 13 Апр '14 20:03

10|600 символов нужно символов осталось
0

Ответ falcao: Если $%p_0=5;q_0=2$%, $%p_{n+1}=p_n^2+6q_n^2, q_{n+1}=2p_nq_n$%, получим решения $%(49;20); (4801;1960); ...$%, целочисельные, но увы, не просты

ссылка

отвечен 13 Апр '14 23:53

@Lyudmyla: да, я подозревал, что там должна быть какая-то серия типа пифагоровых троек или описания решений уравнения Пелля. Но в явном виде пока так и не посчитал.

Судя по всему, у Вас это одна из серий, но есть и другие решения, в неё не попадающие. Типа (485;198). Но там всё должно иметь описание, потому что все такого рода уравнения "решаемые".

(14 Апр '14 0:17) falcao

Ясно, что эта серия гарантирует бесконечное число решений, но не гарантирует все решения

(14 Апр '14 0:37) Lyudmyla

@Lyudmyla: да, я насчёт бесконечности серии согласен, но дело в том, что у похожих уравнений полное описание решений близко к такому. Я пока не проверял, но думаю, что это "половина" решений в том смысле, что есть вторая серия, и вместе они всё исчерпают.

(14 Апр '14 0:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×931
×147

задан
13 Апр '14 19:49

показан
2259 раз

обновлен
14 Апр '14 0:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru