Вступление. Уже не раз на форуме проскакивали критические замечания в адрес нерадивых студентов. Считаю неправильным однобокое освещение вопросов математического образования. К обсуждения необходимо привлечь и критику в вопросах преподавания, т.е. предлагаю публиковать странные (с точки зрения студентов), неоднозначные задания или высказывания преподавателей.

Цель: Студентам лучше понять преподавателя, а преподавателю студентов. Будем стремиться к взаимопониманию.

Задание из курса "Методы и средства защиты информации". Найти обратный элемент к вычету a по модулю b.

Если. По моим сведениям, отношением сравнения по модулю называют отношение эквивалентности, заданное на множестве. По такому отношению исходное множество разбивается на классы эквивалентности таким образом, что все элементы внутри каждого из классов эквивалентны друг другу по отношению эквивалентности (сравнения по модулю) и не эквивалентны элементам других классов.

Тогда. Элемент x есть обратный элементу y по отношению сравнения по модулю тогда и только тогда, когда x и y есть элементы одного класса вычетов. Если отношение сравнения по модулю задано на бесконечном множестве (каким является множество целых чисел), то таких обратных элементов может быть бесконечное количество и перечислить их возможно за бесконечное время..

Вопрос. Предполагается, что я буду перечислять бесконечное число элементов класса?

задан 28 Мар '12 18:55

изменен 28 Мар '12 22:15

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Плохие вопросы пока привести не могу, могу только обсудить тот, что приведен. Классы эквивалентности по модулю p образуют поле, т.е. группу по сложению и (без 0) группу по умножению. Понятие "обратный элемент" относится к группе по умножению: $%a\cdot a^{-1}=e$%, где e - единица группы. В поле остатков единицей будет класс, содержащий 1. Значит, b обратно к a по модулю p, если ab имеет остаток 1 при делении на p.
Например, 2*3=6=5+1, поэтому $%3 = 2^{-1}(\mod 5)$%.

Если p не является простым, некоторые элементы не имеют обратного (в этом случае фактор-множество не является группой по умножению). Например, 2 и 3 не имеют обратных по модулю 6, так как 2k и 3k не могут иметь остаток 1 при делении на 6. А вот 5*5 = 25 = 24 + 1, так что 5 обратно самому себе по модулю 6.

Конечно, во всех примерах числа обозначают собой те классы, которым они принадлежат. Все элементы класса перечислять не нужно. Если класс по модулю 13 включает в себя элемент 27, то все его элементы имеют вид 27 + 13k = 1 + 13(k + 2). Обычно в качестве представителя класса выбирают остаток от деления на p, т.е. число от 0 до p - 1.
Вот, например, таблица умножения по модулю 7:

$$ \pmatrix{(7)&|&1&2&3&4&5&6\\-&-&-&-&-&-&-&-\\1&|&(1)&2&3&4&5&6\\2&|&2&4&6&(1)&3&5\\3&|&3&6&2&5&(1)&4\\4&|&4&(1)&5&2&6&3\\5&|&5&3&(1)&6&4&2\\6&|&6&5&4&3&2&(1)} $$ Значит, 2 и 4 обратны друг другу, как и 3 и 5, а 6 обратно самому себе.

Помню, еще студенткой, я плохо понимала теор. механику, потому что там использовались тензоры, а серьезного определения этого понятия не было. И только на 3 курсе, когда я специализировалась на геометрию, нам дали полное математическое определение этого понятия (которое я, кстати, очень люблю). Вообще между механиками и математиками есть некий антагонизм в отношении своих понятий. Механики ведут себя как физики (хотя и относятся к мехмату): главное физический смысл, а строгости не нужно...

ссылка

отвечен 28 Мар '12 20:15

изменен 28 Мар '12 20:50

Мне вопрос не понравился потому, что про мультипликативную группу в курсе упорно умалчивается. А понятие обратный элемент толком не прояснен.

(28 Мар '12 20:36) chipnddail

Да, это плохо. Это либо недоработка лектора, либо он понадеялся, что группы давались в другом курсе. Что, впрочем, тоже его недоработка! Главное в таких случаях, чтобы был контакт между преподователем и студентами: чтобы студет мог задать уточняющий вопрос и не боялся "монаршьего гнева".

(28 Мар '12 20:45) DocentI

Был отрицательный опыт в таких вопросах. Иногда пытаешься уточнить формулировку, а преподаватель воспринимает как попытку подрыва своего авторитета.Далее считай пропало. Преподавательская солидарность иногда сродни круговой поруке.

(28 Мар '12 22:17) chipnddail

На 3 курсе лектор доказывал нам (на топологии) теорему, в метрическом случае доказал, говорит: "В общем случае доказательство аналогичное". Я посмотрела - ничего подобного. На консультации говорю: "А в Колмогорове-Фомине сказано, что в общем случае это неверно"! Ладно, начинается экзамен. Я жду своей очереди, а рядом отвечает студентка, и как раз этот вопрос. Бойко так: "В общем случае доказательство аналогичное" !!! Бедный препод посмотрел на меня, взял зачетку и поставил "5". Не повезло ему: уж топологию-то я знала, изучала сама с 1 курса. Его потом уволили. Может, и мое мнение сыграло роль.

(28 Мар '12 22:38) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Боязнь "подрыва авторитета" - свидетельство низкой квалификации преподавателя. Хорошие преподаватели, как правило, очень любят вопросы по существу, т.к. это свидетельствует о заинтересованности студента, желании разобраться в материале, что для настоящего преподавателя всегда приятно. Проблема некомпетентности всегда есть, не только в преподавании. Проблема несоответствия компетентности и статуса тоже есть во всем мире, но особенно она актуальна именно для России и именно сейчас. Что, разве много у нас среди статусных людей (во всех областях деятельности) по-настоящему компетентных?

Проблему неквалифицированного преподавателя можно поставить шире. Что делать, если Вы сталкиваетесь с человеком, обладающим высоким статусом и низкой квалификацией? Рецепт один - не боятся высказывать свою позицию, и вообще - не боятся. Как писал Булгаков, "..трусость, несомненно, один из самых страшных пороков... нет, философ, я тебе возражаю: это самый страшный порок".

Если вернуться к математике, то тут проявляется ее замечательная особенность: истина в математике всегда абсолютна, конкретна и доказуема. Это роскошь, которой не может похвастаться почти ни одна наука, не говоря о других областях деятельности. Поэтому в математике всегда можно доказать свою правоту (или убедиться в собственной ошибке) - это очень важно, и это один из аргументов необходимости изучения математики нематематиками.

ссылка

отвечен 29 Мар '12 13:07

изменен 29 Мар '12 17:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3

задан
28 Мар '12 18:55

показан
1324 раза

обновлен
29 Мар '12 17:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru