Дана парабола у2 = 16х. Записать уравнение хорды, которая в точке А (2, 3) делится пополам.

задан 14 Апр '14 0:23

изменен 14 Апр '14 8:36

Expert's gravatar image


15718

Пишите, пожалуйста, на русском языке (так больше человек сможет ответить на Ваш вопрос).

(14 Апр '14 0:25) kirill1771

@АляТФ, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(14 Апр '14 12:30) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%(x_1;y_1)$% и $%(x_2;y_2)$% -- концы хорды. По условию, $%(x_1+x_2)/2=2$% и $%(y_1+y_2)/2=3$%. Кроме того, эти точки принадлежат параболе, то есть $%y_1^2=16x_1$% и $%y_2^2=16x_2$%. Получилась система уравнений.

Из того, что $%y_1+y_2=6$% после возведения в квадрат выводим следствие $%y_1^2+y_2^2+2y_1y_2=36$%. Из двух последних уравнений системы, с учётом самого первого, $%y_1^2+y_2^2=16(x_1+x_2)=64$%. Следовательно, $%2y_1y_2=36-64=-28$%. Числа $%y_1$%, $%y_2$% удовлетворяют условиям $%y_1+y_2=6$%, $%y_1y_2=-14$%. В соответствии с теоремой Виета, они будут корнями квадратного уравнения $%y^2-6y-14=0$%, откуда $%y_{1,2}=3\pm\sqrt{23}$%. Это ординаты, а абсциссы через них выражаются по формуле $%x=y^2/16$%. При этом не надо возводить в квадрат, а надо учесть, что $%y^2=6y+14$%, и тогда $%x_{1,2}=(6(3\pm\sqrt{23})+14)/16=2\pm3\sqrt{23}/8$%.

Осталось составить уравнение хорды. Угловой коэффициент равен $%k=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=2\sqrt{23}/(3\sqrt{23}/4)=8/3$%. С учётом того, что хорда проходит через точку $%(2;3)$%, находим её уравнение в виде $%y=\frac83(x-2)+3=\frac{8x-7}3$%.

ссылка

отвечен 14 Апр '14 0:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

У меня получилось $%8x-3y-7=0$%. Пусть точка $%(x_0; 4\sqrt {x_0})$% лежит на кривой и хорде, вторая $%(x_1; 4\sqrt {x_1})$%, тогда $%(2;3)$% - cередина отрезка, $% x_c=\frac {x_1+x_2}2$%, аналогично и вторая координата, откуда для второй точки получаем $%(4-x_0;6-4\sqrt {x_0})$%, а так как эта точка лежит на параболе, то $%(6-4\sqrt {x_0})^2=16(4-x_0)$%. Решая уравнение относительно $%\sqrt {x_0}$%, получим $%\sqrt {x_0}=\frac{3+\sqrt{23}}4$%, возводим в квадрат, получим $%x_0=2+\frac{3\sqrt{23}}8$%, $%y_0={3+\sqrt{23}}$%. Координаты направляющего вектора найдем, используя эту точку и середину: $%p=(\frac{3\sqrt{23}}8; \sqrt{23})$%, он коллинеарен вектору $%(3;8)$%. Нормальный вектор $%(8,-3)$%, уравнение $%a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$%, дает результат $%8(x-2)-3(y-3)=0$%, или после упрощения тот, который я написала вначале.

ссылка

отвечен 14 Апр '14 1:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть концы хорды имеют ординаты $%y_1,\; y_2$%...
Если вспомнить про теорему Лагранжа о конечном приращении (рассматривая $%x$% как функцию от $%y$%), то легко показать, что для любой параболы касательная, параллельная хорде, проходит через точку с ординатой $%y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$% ...
Итого, надо найти производную от $%x=\frac{y^2}{16}$% в точке $%y_0=3$%... и написать уравнение прямой с полученным угловым коэффициентом через данную в условии точку...

ссылка

отвечен 14 Апр '14 1:32

изменен 14 Апр '14 1:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×865

задан
14 Апр '14 0:23

показан
866 раз

обновлен
14 Апр '14 12:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru