Решить уравнение $%3^{2x+3}-12^{x+1}-4^{2x+3}=0$%

задан 14 Апр '14 12:11

Разделите на $%4^{2x}$%, и получится квадратное уравнение относительно $%y=(3/4)^x$%.

(14 Апр '14 12:16) falcao

@falcao: у меня получается какие-то очень большие и страшные значения, пробовал делить не только на $%4^{2x}$% и на $%3^{2x}$% - одно и то же получается, дискриминант не только очень большой, из него еще корень целый не извлекается, что делать?

(14 Апр '14 13:38) ratchet

@ratchet: в этом задании это был некий подвох, поэтому надо было подумать над еще каким-нибудь способом, раз уж этими явно не получается, я привел еще один в своем решении.

(14 Апр '14 13:39) kirill1771

@ratchet: уравнение там получается типа $%27y^2-12y-64=0$%. Коэффициент при $%y$% чётен, поэтому берём приведённый дискриминант: $%D/4=6^2+27\cdot64$%. Полезно не считать всё как есть, а вынести $%6^2$% за скобку. Получится $%6^2(1+3\cdot2^4)=42^2$%. Положительный корень равен $%(6+42)/27=16/9$%, откуда $%x=-2$%.

(14 Апр '14 14:10) falcao

@falcao: да, я, когда перепроверил, все получилось, но число все равно для меня большое, вычисления время занимают, а преобразовать, как Вы показали, я недогадался. Вот @kirill1771 удобный способ предложил.

(14 Апр '14 14:47) ratchet

@ratchet: я с Вами согласен, что замена x+1 на другую переменную приводит к более простому уравнению. Но дело в том, что до неё надо сначала додуматься. Это тоже может занять время, причём достаточно неопределённое. Может так оказаться, что быстрее будет "укротить" числа, которые кажутся большими, но на самом деле эту трудность можно обойти. Есть и другой способ уменьшения коэффициентов, "забирая" число три: $%3(3y)^2-4(3y)+64=0$%. Так или иначе, подобные приёмы полезно использовать.

(14 Апр '14 17:45) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно сделать так: $%3^{2x+3}-12^{x+1}-4^{2x+3}=0$%
$%27\cdot3^{2x}-12\cdot3^x4^x-64\cdot4^{2x}=0$% $%| :3^{2x}$%
$%27-12 \big(\frac{4}{3}\big)^x-64\big(\frac{4}{3}\big)^{2x}=0 $% замена: $%\big(\frac{4}{3}\big)^x=t, t>0$%
$%-64t^2-12t+27=0$% - но этим способом, получается довольно большой дискриминант, так что предлагаю еще один способ:
Заменим $%x+1=a$%, тогда уравнение примет вид: $%3\cdot3^{2a}-12^a-4\cdot4^{2a}=0$% $%|:3^{2a}$%
$%3-\big(\frac{4}{3}\big)^a-4\big(\frac{4}{3}\big)^{2a}=0$% замена: $%\big(\frac{4}{3}\big)^a=k, k>0$%
$%-4k^2-k+3=0$% здесь уже легко по теореме Виета определяем $%k_{1,2}=-1;\frac{3}{4}$%, отрицательные значения нам не подходят (см. выше), поэтому рассматриваем только $%\big(\frac{4}{3}\big)^a=\frac{3}{4} \Leftrightarrow \big(\frac{4}{3}\big)^a=\big(\frac{4}{3}\big)^{-1} \Leftrightarrow a=-1 \Leftrightarrow x+1=-1 \Leftrightarrow x=-2$%

ссылка

отвечен 14 Апр '14 13:36

изменен 14 Апр '14 13:54

1

@kirill1771: дискриминант в обоих случаях "хороший". Он не может быть в одном случае рационален, а в другом иррационален. Причина расхождений в том, что в первом случае Вы написали коэффициент 9, хотя на самом деле он равен 27.

Хотя в принципе, конечно, заменить x на x+1 технически удобнее.

(14 Апр '14 13:47) falcao

@falcao: да, действительно, спасибо.

(14 Апр '14 13:55) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×931

задан
14 Апр '14 12:11

показан
560 раз

обновлен
14 Апр '14 17:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru