В прямоугольном треугольнике $%ABC$% с катетами $%AC=6$% и $%BC=8$% проведена медиана $%CM$%. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $%ACM$% и $%BCM$%.

задан 14 Апр '14 14:21

10|600 символов нужно символов осталось
2

Задача несложная, но весьма симпатичная.

Площади у обоих треугольников, разделённых медианой, равны 12. Полупериметры равны 8 и 9 соответственно (длина медианы равна 5). Следовательно, в силу формулы $%S=pr$%, радиусы вписанных окружностей равны 3/2 и 4/3.

Проведём в этих треугольниках высоты из вершины $%M$%. Они взаимно перпендикулярны, и их длины равны 4 и 3 соответственно (половины катетов). Ввиду того, что центры вписанной окружности удалены от катетов, которых они касаются, на расстояние $%r$% (значение своё для каждого треугольника), от вершины $%M$% они удалены на расстояние, находимое по формуле $%h-r$%, где $%h$% -- высота. У нас тогда получаются числа $%4-3/2=5/2$% и $%3-4/3=5/3$%. Это катеты треугольника, гипотенуза которого соединяет центры окружностей. Следовательно, расстояние между центрами равно $%5\sqrt{\frac14+\frac19}=\frac56\sqrt{13}$%.

ссылка

отвечен 14 Апр '14 16:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,693
×668
×239

задан
14 Апр '14 14:21

показан
1523 раза

обновлен
14 Апр '14 16:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru