|
Решить уравнение в целых числах: $%3xy - 5 = x^2+2y$%. задан 14 Апр '14 14:22 
student |
|
Запишем уравнение в виде $%x^2-3xy=-2y-5$% и прибавим $%(\frac32y)^2$% к каждой из частей. Получится $%(x-\frac32y)^2=\frac94y^2-2y-5$%, и далее снова выделяем полный квадрат, записывая правую часть в виде $%(\frac32y-\frac23)^2-\frac{49}9$%. После домножения на 9 имеем $%(\frac92y-2)^2-(3x-\frac92y)^2=49$%, то есть $%(3x-2)(9y-3x-2)=49$%. Целочисленные делители числа 49 принимают значения $%\pm1$%, $%\pm7$%, $%\pm49$%, где вид $%3x-2$% для целого $%x$% имеют только $%1$%, $%7$% и $%49$%. Для каждого из случаев $%1\cdot49$%, $%7\cdot7$%, $%49\cdot1$% легко найти соответствующие ему $%x$% и $%y$%, откуда получается три решения. Ответом будет $%(x;y)\in\{(1;6),(3;2),(17;6)\}$%. отвечен 14 Апр '14 17:21 
falcao @falcao: а как Вы догадались, что нужно выделить полные квадраты? А не рассматривать значения на признаки делимости, например?
(14 Апр '14 17:28)
kirill1771
1
@kirill1771: выделение полных квадратов -- вещь стандартная. Это основа теории квадратных уравнений. Вывод формулы для них именно на этой идее базируется. Других способов я даже не рассматривал.
(14 Апр '14 18:16)
falcao
|