Сколько существует различных окружностей, проходящих через всевозможные тройки вершин куба?

задан 14 Апр '14 14:25

10|600 символов нужно символов осталось
3

Так как в условии сказано различных, то, думаю, что не все так просто, как казалось. Пишу новое решение: так как грань куба - квадрат, то описав окружность около любых трех точек, она будет проходить через все, то есть все следующие описанные около других точек этой грани будут одинаковыми, тогда для любой грани найдется только одна "уникальная" окружность, то есть их уже $%6$% - для диагональных плоскостей тоже самое (так как они - прямоугольники), их тоже $%6$%, тогда рассмотрим случай для точек, лежащих в плоскостях, которые не принадлежат граням куба: это когда для каждой точки можно найти еще две, так чтобы они лежали на диагонали параллельной грани, но при этом диагональ была скрещивающийся относительно ребра, которое является высотой этих граней и на котором лежит эта точка, для каждой точки можно найти только одну "уникальную" пару таких точек. Итого получается $%6+6+8=20$% различных окружностей.
Так же можно было еще посчитать всего вариантов (см. ниже) и то, что для одной грани (или диагональной плоскости) всегда найдутся $%3$% "лишние" окружности, а всего таких граней и плоскостей $%6+6=12$%, то есть будет $%36$% "лишних" окружностей, которые мы вычитаем из общего количества и получаем $%20$%;

Количество сочетаний $%3$% точек, выбирая их из $%8$% (всего вершин куба), получается: $%C_8^3=\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8}{2\cdot3\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=7\cdot8=56$%.

ссылка

отвечен 14 Апр '14 15:15

изменен 14 Апр '14 20:46

1

@kirill1771, удобнее пользоваться для вычисления числа сочетаний из n элементов по m так: в знаменателе m!,

в числителе m множителей, n(n-1)(n-2)...(всего m множителей) В нашем примере (8.7.6)/3!=56

(14 Апр '14 16:45) nynko

@student: а почему нет повторяющихся? Ведь если описать окружность около грани, то она пройдёт сразу через три точки. И это не единственный случай совпадения.

(14 Апр '14 19:49) falcao

@falcao,@student: я написал новое решение для различных окружностей.

(14 Апр '14 20:33) kirill1771

@kirill1771: да, теперь всё верно.

Я, кстати, когда увидел эту задачу (уже с решением), то вообще не вдумался в то, что здесь есть "подвох"!

(14 Апр '14 21:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,405
×54

задан
14 Апр '14 14:25

показан
749 раз

обновлен
14 Апр '14 21:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru