Если $$a+b<1 \ \ \ \ a,b>0$$ , то минимальное значение выражение $$ \frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{1}{a+b}$$ .

задан 14 Апр '14 16:36

изменен 15 Апр '14 20:36

вышло что 2,5

(14 Апр '14 16:43) parol

У меня тоже так получилось.

(14 Апр '14 17:46) kirill1771

@parol: а каким способом Вы решали?

(15 Апр '14 23:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я могу предложить такое решение (придумал сию секунду). Преобразуем выражение к виду $%\frac1{1-a}+\frac1{1-b}+\frac1{a+b}-2$%. К первым двум слагаемым применим неравенство $%\frac1x+\frac1y\ge\frac4{x+y}$%, справедливое для положительных чисел (оно не так давно фигурировало). Тогда получается, что оцениваемая величина не меньше $%f(s)=\frac4{2-s}+\frac1s-2$%, где $%s=a+b$%. Эту функцию при помощи производной легко исследовать на экстремум, который она имеет в точке $%s=\frac23$%, и легко заметить, что это точка "глобального" минимума: при переходе через неё производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, $%f(s)\ge f(\frac23)=\frac52$%. Это значение и будет наименьшим для исходного выражения: неравенство становится равенством при $%a=b=\frac13$%.

ссылка

отвечен 15 Апр '14 23:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,852
×3,931
×545
×96

задан
14 Апр '14 16:36

показан
594 раза

обновлен
15 Апр '14 23:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru