Из вершин острых углов В и С треугольника АВС проведены две его высоты – ВМ и СN, причем прямые ВМ и СN пересекаются в точке Н. Найдите угол ВНС, если известно, что MN=1/3BC

задан 14 Апр '14 17:41

изменен 14 Апр '14 22:29

Deleted's gravatar image


126

У меня угол получился $%arccos(-\frac{1}{3})$%, сейчас решение напишу.

(14 Апр '14 18:15) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
3

Треугольники $%MNH$% и $%CBH$% - подобные по трем углам - доказательство (способом, предложенным @falcao в комментарии ниже): если построить окружность на диаметре $%BC$%, то точки $%M$% и $%N$% будут лежать на ней, так как $%BC$% - гипотенуза прямоугольных треугольников $%NBC$% и $%MBC$%, тогад $%BCMN$% - это описанный четырехугольник и сумма его противоположенных углов равна $%180^o$%, то есть (обозначим $%\angle MBC=\alpha;\angle NCB=\beta$%) $%\angle BHC=180-\alpha-\beta \Leftrightarrow \angle MHC=\alpha + \beta \Leftrightarrow \angle MCN=90-\alpha-\beta \Leftrightarrow \angle BNM=180-90+\alpha+\beta-\beta$%
$%=90+\alpha \Leftrightarrow \angle MNH=90+\alpha-90=\alpha$%, аналогично для другого угла.
Пусть $%MN=x$%, тогда $%BC=3x$%, так же $%NH=y;BH=3y$% и $%MH=z;CH=3z$%; В прямоугольном треугольнике $%MHC$%: $%MC=\sqrt{HC^2-MH^2}=\sqrt{9z^2-z^2}=\sqrt{8}z$%. Тогда в прямоугольном треугольнике $%BMC$% (можно рассмотреть другой треугольник) гипотенуза будет равна: $%9x^2=8z^2+(3y+z)^2=8z^2+9y^2+6yz+z^2=9z^2+9y^2+6yz \Leftrightarrow x^2=z^2+y^2+\frac{2}{3}yz$%; А в треугольнике $%NHM$% по теореме косинусов: $%x^2=y^2+z^2-2yz\cdot cos\angle NHM=y^2+z^2-2yz\cdot cos\angle BHC$% (так как $%\angle BHC=\angle NHM$%), тогда
$%y^2+z^2-2yz\cdot cos\angle BHC=z^2+y^2+\frac{2}{3}yz$%
$%-2yz\cdot cos\angle BHC=\frac{2}{3}yz$%
$%cos\angle BHC=-\frac{1}{3} \Leftrightarrow \angle BHC=arccos(-\frac{1}{3})=\pi-arccos(\frac{1}{3})$%

ссылка

отвечен 14 Апр '14 18:32

изменен 14 Апр '14 19:37

1

@kirill1771: если доказать подобие треугольников (проще всего для этого построить окружность на диаметре BC), то дальше все совсем просто. Достаточно рассмотреть отношение соответственных сторон NH:BH. Оно равно 1/3, и тогда косинус смежного угла равен 1/3, откуда всё следует.

Кстати, подобные треугольники лучше называть в порядке следования соответственных вершин, то есть MNH и CBH.

(14 Апр '14 18:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×760

задан
14 Апр '14 17:41

показан
1168 раз

обновлен
14 Апр '14 19:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru