Пусть $%H$% - ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника $%ABC$%, причем $%CH = AB = 1$%. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $%AHC$%.

задан 14 Апр '14 21:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут надо несколько раз применить теорему синусов (в её "усиленном" варианте).

Прежде всего, если $%AA_1$% -- высота, то угол $%CHA_1$% равен углу при вершине $%B$%, откуда $%CH=\frac{CA_1}{\sin\beta}$%. Далее, $%CA_1=CA|\cos\gamma|$%, а по теореме синусов $%CA=2R\sin\beta$%, где $%R$% -- радиус окружности, описанной около $%ABC$%. Из этих равенств следует, что $%CH=2R|\cos\gamma|$%.

Применяя теорему синусов ещё раз, имеем $%AB=2R\sin\gamma$%. Тогда из условия следует, что $%|\cos\gamma|=\sin\gamma$%, то есть угол при вершине $%C$% равен $%45^{\circ}$% или $%135^{\circ}$%, а модуль косинуса и синус равны $%\frac1{\sqrt2}$%.

Теперь опишем окружность относительно $%AHC$%. Пусть её радиус равен $%\rho$%. Применяя теорему синусов для этого случая, получаем $%1=CH=2\rho\sin\angle CAH=2\rho|\cos\gamma|=\sqrt2\rho$%. Следовательно, $%\rho=\frac1{\sqrt2}$%.

ссылка

отвечен 14 Апр '14 21:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024
×760

задан
14 Апр '14 21:10

показан
327 раз

обновлен
14 Апр '14 21:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru