В остроугольном треугольнике $%ABC$% проведены высоты $%AA_{1}$%, $%BB_{1}$%, $%CC_{1}$%. Периметр треугольника $%A_{1}B_{1}C_{1}$% равен $%P$%. Найдите площадь треугольника $%ABC$%, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен $%R$%.

задан 14 Апр '14 21:11

10|600 символов нужно символов осталось
2

Выразим длины сторон треугольника $%A_1B_1C_1$%. Заметим, что если на стороне $%AB$% как на диаметре построить окружность, то она пройдёт через точки $%A_1$% и $%B_1$%. Тогда длина хорды $%A_1B_1$% равна диаметру окружности, умноженному на синус угла $%CAA_1$%, а последний равен $%\cos\gamma$%. Таким образом, $%A_1B_1=c\cos\gamma$%, и аналогично для остальных сторон. Таким образом, $%P=a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma=R(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma)$% с учётом теоремы синусов.

Используя известную формулу для площади, а также теорему синусов, имеем $%S=\frac12ab\sin\gamma=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$%. Заметим, что $%\sin2\alpha+\sin2\beta=2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=2\sin\gamma\cos(\alpha-\beta)$%. Следовательно, $%\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma)$%. Выражение в скобках равно $%\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))=2\sin\alpha\sin\beta$%. В итоге получается тождество $%\sin2\alpha+\sin2\beta=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$%. Из него следует, что $%S=\frac12PR$%.

ссылка

отвечен 15 Апр '14 0:27

10|600 символов нужно символов осталось
3

Если эта задача на знание формул, то
$%S=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4R}=\frac{1}{2}PR=\frac{1}{2}AB\cdot CC_1=\frac{1}{2}AC\cdot BB_1=BC \cdot AA_1$%;

ссылка

отвечен 14 Апр '14 23:26

изменен 15 Апр '14 0:30

@kirill1771: формула $%S=\frac12PR$% здесь неприменима, потому что $%P$% обозначает периметр другого треугольника (самого $%ABC$%).

(14 Апр '14 23:58) falcao

@kirill1771: прошу прощения -- я поторопился со своим предыдущим замечанием. Формула $%S=\frac12PR$% верна, в чём я только что убедился. Мне ошибочно показалось, что Вы имели в виду другую формулу для площади, $%S=pr$%, но там совсем другой радиус рассматривается.

(15 Апр '14 0:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025
×760

задан
14 Апр '14 21:11

показан
704 раза

обновлен
15 Апр '14 0:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru