1
2

Задание: Пусть V - евклидово пространство всех многочленов над R степени <= 2 со скалярным произведение $$(f,g) = \int_0^1 f(t)g(t) dt $$ Найдите ортогональный базис пространства V.

Очень прошу, объясните доступным языком, как такое решается?

задан 14 Апр '14 22:14

изменен 14 Апр '14 23:01

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассматриваемое пространство имеет "естественный" базис из трёх многочленов: $%e_0=1$%, $%e_1=t$%, $%e_2=t^2$%. Легко видеть, что он не ортогонален: например, скалярное произведение первых двух векторов равно $%(e_0,e_1)=\int_0^1t\,dt=\frac12$%, то есть не равно нулю.

Построим новый базис из векторов $%f_0$%, $%f_1$%, $%f_2$% со свойством ортогональности. Положим $%f_0=e_0=1$%. Следующий вектор будем искать в виде $%f_1=e_1+ke_0$%, где $%k$% -- неизвестный коэффициент. Нам нужно, чтобы векторы $%f_0$% и $%f_1$% были ортогональны, то есть их скалярное произведение равнялось нулю. Вычислим его: $%(f_0,f_1)=(e_0,e_1+ke_0)=(e_0,e_1)+k(e_0,e_0)$%. Мы уже нашли число $%(e_0,e_1)=\frac12$%. Таким же способом находим $%(e_0,e_0)=\int_0^1dt=1$%. Следовательно, $%\frac12+k=0$%, то есть $%k=-\frac12$%. Мы нашли тем самым вектор $%f_1=t-\frac12$%.

Теперь найдём аналогичным способом третий вектор нового базиса, представляя его в виде $%f_2=e_2+af_1+bf_0$%, где $%a$%, $%b$% -- некоторые коэффициенты. Нам теперь требуется, чтобы этот вектор был ортогонален двум остальным, то есть выполнялись равенства $%(f_2,f_0)=0$% и $%(f_2,f_1)=0$%.

Первое равенство означает, что $%0=(e_2+af_1+bf_0,f_0)=(e_2,f_0)+b(f_0,f_0)$%. Слагаемое $%(f_1,f_0)$% исчезает в силу ортогональности векторов: в этом суть используемого метода. Находим $%(e_2,f_0)=(t^2,1)=\int_0^1t^2\,dt=\frac13$%. Коэффициент при $%b$% мы уже находили выше: он равен единице. Следовательно, $%0=\frac13+b$%, и $%b=-\frac13$%.

Второе равенство означает, что $%0=(e_2+af_1+bf_0,f_1)=(e_2,f_1)+a(f_1,f_1)$%. Найдём оба скалярных произведения. Во-первых, $%(e_2,f_1)=\int_0^1t^2(t-\frac12)dt=\int_0^1(t^3-\frac{t^2}2)dt=\frac14-\frac16=\frac1{12}$%. Во-вторых, $%(f_1,f_1)=\int(t-\frac12)^2dt=\int_0^1(t^2-t+\frac14)dt=\frac13-\frac12+\frac14=\frac1{12}$%. Тем самым, $%0=\frac1{12}+a\frac1{12}$%, откуда $%a=-1$%.

Окончательно получаем $%f_2=e_2+af_1+bf_0=t^2-(t-\frac12)-\frac13=t^2-t+\frac16$%. Система $%f_0=1$%, $%f_1=t-\frac12$%, $%f_2=t^2-t+\frac16$% является ортогональным базисом данного евклидова пространства.

Использованный способ называется процессом ортогонализации Грама - Шмидта.

ссылка

отвечен 14 Апр '14 23:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,409

задан
14 Апр '14 22:14

показан
3264 раза

обновлен
14 Апр '14 23:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru