При каких значениях параметра $%a$% уравнение $%x−2=\sqrt{2−2(a+2)x}$% имеет единственное решение.

Я знаю, что этот вопрос был уже задан. Дело в том, что на него не ответили, ответ, конечно дали, но решение, в краткое (я, если честно, немногое понял), я не очень силен в математике, но эта задача привлекла внимание, я пробовал возводить в квадрат, затем выражать дискриминант, приравнивать его к нулю, не знаю, как дальше быть.

Буду очень признателен, если кто-нибудь напишет решение! Можите написать решение в прошлом вопросе, я этот удалю!

задан 15 Апр '14 19:47

изменен 16 Апр '14 0:48

Deleted's gravatar image


126

1

Возведите все в квадрат, получится квадратное уравнение. Это квадратное уравнение должно иметь два корня , один из которых больше двух, другой меньше двух ( тогда будет выполнено условие задачи) Это условие f(2)<0. Отсюда будет получен ответ

(15 Апр '14 21:41) epimkin

@epimkin: а почему один из корнй должен быть больше двух, а другой меньше? У меня получислоь $%x=-a\pm \sqrt{a^2-2}$%, а по ОДЗ: $%x\leq \frac{1}{a+2}$%.

(15 Апр '14 22:14) clank
1

@clank , я нашел подобную задачу, завтра отсканирую и отвечу.

(15 Апр '14 22:35) epimkin

@epimkin: буду очень признателен.

(15 Апр '14 22:37) clank

x>2 вначале - это условие равно сильного перехода. Чтобы хорошо возвести в квадрат нужно, чтобы обе части уравнения имели одинаковые знаки. Так вот условие х>=2 это делает

(15 Апр '14 22:56) epimkin
1

@clank , я ответил.

(16 Апр '14 16:29) epimkin
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
4

Я вчера подумал над этой задачей, поэтому могу рассказать то решение, которое у меня получилось. Оно было описано в комментариях, но довольно кратко.

Применяем такой приём: меняем роли $%x$% и $%a$%. Это значит, что мы решаем уравнение относительно $%a$% при фиксированном $%x$%, и смотрим, при каких $%x$% имеются эти решения, и в каком количестве.

Итак, у нас получается, что $%x\ge2$%, и для таких $%x$% имеет место следующее равенство: $$a=\frac{2-(x-2)^2}{2x}-2=-\frac1x-\frac{x}2.$$ Функцию от $%x$%, которая получилась в правой части, обозначим через $%f(x)$% и исследуем её поведение при $%x\in[2;+\infty)$%. Найдём производную: $%f'(x)=\frac1{x^2}-\frac12 < 0$%, откуда ясно, что функция убывает. Очевидно также, что при $%x\to+\infty$% значение функции стремится к $%-\infty$% за счёт отрицательного коэффициента при $%x$% и ограниченности остальных слагаемых. Следовательно, функция $%f$% принимает все значения от $%-\infty$% до $%f(2)=-\frac32$%, и каждое такое значение принимает ровно один раз в силу монотонности функции. Следовательно, при каждом $%a\le-\frac32$% решение исходного уравнения относительно $%x$% в точности одно, а при других значениях $%a$% решений нет.

ссылка

отвечен 15 Апр '14 22:18

@falcao: большое спасибо Вам! Я только еще не до конца понял, почему $%x \geq 2$% в начале?

(15 Апр '14 22:31) clank

@falcao , я нашел эту задачу. Она действительно так написана. Была на экзаменах в МГУ -экономический факультет в 95 году

(15 Апр '14 22:38) epimkin
1

@clank: разность $%x-2$% равна корню квадратному, поэтому она неотрицательна. Здесь учтено то, что мы равенство вида $%u=\sqrt{v}$% возводим в квадрат. Получается $%u^2=v$%, поэтому $%v$% неотрицательно автоматически, и это учитывать не надо. А вот чтобы после извлечения корня мы смогли вернуться назад (то есть преобразование было равносильным), нужно выполнение неравенства $%u\ge0$%.

(15 Апр '14 23:06) falcao

@epimkin: я думаю, они описанный способ решения и имели в виду, или что-то похожее. В принципе, это разумно. Я нашёл два "мотива". Первый (не самый главный): при выражении $%a$% через $%x$% пропадает константа. Это ни на что не влияет, но так немного "красивее". Второй: "запрятать" $%a$% поглубже, чтобы труднее было догадаться, что её надо выразить :)

(15 Апр '14 23:12) falcao

@falcao , я сейчас специально по книжкам посмотрел. Основной метод решения подобного все же на тему "Расположение корней квадратного уравнения" в них

(15 Апр '14 23:23) epimkin

@epimkin: я с литературой по этим вопросам вообще не знаком. Но знаю, что они иногда предлагают не самые лучшие способы решения. Одной из причин служит "унификация": в смысле, предложение как можно более "универсальных" методов. Я, кстати, когда вчера начинал смотреть эту задачу, то тоже думал об анализе корней, но мне показалось, что это слишком сложно, и что должны быть "обходные" пути.

(15 Апр '14 23:32) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
3
ссылка

отвечен 16 Апр '14 16:28

@epimkin: Спасибо Вам большое! А что это за книжка, страницы которой изображены в Вашем ответе?

(16 Апр '14 16:31) clank
1

@clank Я сейчас в старом вопросе обложку помещу

(16 Апр '14 16:34) epimkin

@epimkin: сейчас обнаружилось, что когда я начинал решать эту задачу на клочке бумаги, то возвёл в квадрат не то, что нужно (сделал всё наоборот). Вид уравнения меня "испугал", и я начал решать по-другому, а больше уже к этой идее не возвращался. На самом же деле, там при всех способах решения всё получается просто.

(16 Апр '14 17:11) falcao

@falcao, когда вчера искал, в какой-то книжке встретил пять способов решения(в том числе Ваш). Еще радует, что не один я неввнимательный (смайлик улыбающийся-на других форумах есть)

(16 Апр '14 17:18) epimkin

@epimkin: мне кажется, ошибки в процессе решения -- это неизбежная вещь. И они часто случаются. Просто большинство из них вовремя отслеживается и не попадает на "чистовик".

(16 Апр '14 17:24) falcao

@falcao , у меня не прорвешься:попадают все

(16 Апр '14 17:27) epimkin
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,859
×931
×259

задан
15 Апр '14 19:47

показан
823 раза

обновлен
16 Апр '14 17:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru