Найти наименьшее значение параметра a, при котором уравнение имеет положительный корень Уравнение выглядит так: $$2^{\sin^2(2x+{5\pi}/4)}=\frac4{(x-a)^2-6(x-a)+13}$$

задан 15 Апр '14 23:31

изменен 16 Апр '14 12:21

kirill1771's gravatar image


5.4k837

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$2^{\sin^2(2x+{5\pi}/4)}=\frac4{(x-a)^2-6(x-a)+13}$$

Здесь нужно опираться на неравенства. Прежде всего, знаменатель дроби в правой части имеет вид $%(x-a-3)^2+4$% после выделения полного квадрата. Значит, он не меньше 4, а сама дробь -- не больше единицы. В левой части 2 возводится в неотрицательную степень, и результат не меньше 1. Поэтому обе части уравнения должны быть равны 1. Для левой части получается, что синус обратился в ноль, а для правой -- что знаменатель дроби равен 4, то есть $%x=a+3$%. Только такое $%x$% может претендовать на то, чтобы быть решением.

Рассмотрим условие $%2x+\frac{5\pi}4=\pi k$%, где $%k$% целое (именно это значит, что синус обратился в ноль). Нас интересует наименьшее значение $%a$%, при котором корень $%x$% положителен. Ввиду того, что $%x$% и $%a$% связаны равенством $%x=a+3$%, наименьшему значению $%x$% соответствует наименьшее значение $%a$%, и наоборот. Значит, мы ищем наименьшее положительное значение для $%x=-\frac{5\pi}8+\frac{\pi k}2$%. Положительности $%x$% соответствует неравенство $%k > \frac54$%, и $%x$% будет тем меньше, чем меньше $%k$%. Ясно, что среди целых чисел таким свойством обладает $%k=2$%. Тогда $%x=\frac{3\pi}8$%, и $%a=x-3=\frac{3\pi}8-3$%.

ссылка

отвечен 16 Апр '14 0:06

Спасибо большое!

(16 Апр '14 15:32) OneOfTheBeatles
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×259

задан
15 Апр '14 23:31

показан
581 раз

обновлен
16 Апр '14 15:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru