Решить уравнение: $$z^2=3-4i$$

задан 16 Апр '14 17:53

изменен 18 Апр '14 12:33

Angry%20Bird's gravatar image


9125

@Яська, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(18 Апр '14 12:33) Angry Bird
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%(x+iy)^2=3-4i$%

$%x^2-y^2=3$%, $%xy=-2$% (система)

Выражаем $%y$% из второго уравнения, подставляем в первое, решаем биквадратное уравнение. Можно также устно подобрать одно решение ($%x=2$%, $%y=-1$%). Этого достаточно, так как второй корень получается сменой знака, а исходное уравнение относительно $%z$% является квадратным, и не может иметь больше двух корней. В итоге $%z=\pm(2-i)$%.

ссылка

отвечен 16 Апр '14 18:01

Почему, если записать что z=(3-4i)/(1/2) и расписать по формуле, то не получается такой же ответ

(16 Апр '14 18:06) Яська

О какой формуле идёт речь? Здесь достаточно раскрыть скобки и увидеть, что $%(2-i)^2=4-4i+i^2=3-4i$%.

(16 Апр '14 18:12) falcao

Формула Муавра для извлечения корня

(16 Апр '14 18:17) Яська

А как Вы её применяете? Там ведь надо сначала к тригонометрической форме привести. Получатся "плохие" углы с "хорошими" значениями синуса и косинуса. Далее надо будет найти (ко)синусы половинных углов. Получится тот же результат (по другому быть и не может), но этот способ более "затратный".

(16 Апр '14 18:26) falcao

Я искала сперва модуль, затем аргумент, подставляла в формулу, и как раз получила плохие углы ( что-то вроде косинус от арктангенса(-4/3))

(16 Апр '14 18:28) Яська

Еще если по этой же формуле решать уравнение z^3=-1, то модуль = 1, а аргумент 0, и подставляя в эту формулу, я получаю итоговый ответ такой, что, если обратно возвести в 3-юю степень, то будет не минус 1, а один. И не ясно как учитывать знак.

(16 Апр '14 18:31) Яська

В задаче с корнем второй степени надо находить половинные углы. Но это только для проверки альтернативного способа. Вообще-то так решать не нужно.

Для кубического уравнения аргумент равен не нулю, а $%2\pi k$% (ноль -- только одно из значений). После применения формулы Муавра получится $%1(\cos\frac{2\pi k}3+i\sin\frac{2\pi k}3)$%, где $%k$% принимает значения 0, 1, 2. Для k=0 получится предсказуемая единица, а два других значения будут $%\frac{-1\pm i\sqrt3}2$%. Полезно также иметь в виду, что корни расположены в вершинах правильного $%n$%-угольника.

(16 Апр '14 18:40) falcao
1

Я описал случай уравнения $%z^3=1$%, не увидев минуса. Для $%z^3=-1$% аргумент равен не нулю, а $%\pi$% (отрицательная полуось). Учитывая период, имеем $%z=1(\cos\frac{\pi+2\pi k}3)+i\sin\frac{\pi+2\pi k}3)$%, где $%k=0,1,2$%. При k=1 будет $%z=-1$%, а два других корня равны здесь $%\frac{1\pm i\sqrt3}2$%.

(16 Апр '14 18:44) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×499

задан
16 Апр '14 17:53

показан
1967 раз

обновлен
18 Апр '14 12:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru