алгебра - Доказать, что группа порядка $%p^2$%, где $%p$% - простое, коммутативна

Используем тот факт, что всякая группа порядка $%p^n$%, где $%p$% простое, обладает нетривиальным центром. Этим можно воспользоваться как результатом предыдущих упражнений, или вспомнить здесь, как это доказывалось.

Теперь пусть $%G$% -- группа порядка $%p^2$%. Доказать, что она коммутативна -- это значит проверить, что она совпадает со своим центром. Если это не так, то центр, будучи подгруппой, имеет порядок $%p$% из соображений теоремы Лагранжа. Надо показать, что так не бывает.

Если $%Z$% -- центр, то факторгруппа $%G/Z$% имеет порядок $%p$%. Значит, это циклическая группа, поскольку $%p$% простое. Осталось доказать такой общий факт: факторгруппа по центру не может быть циклической (если она неединична).

Это могло быть в предыдущих упражнениях, но на всякий случай вспомним доказательство. Допустим, что $%G/Z$% циклична. Тогда она обладает образующим элементом. Это какой-то смежный класс $%aZ$%. Степени этого смежного класса исчерпывают всю группу, то есть $%G=\bigcup\limits_{k\in{\mathbb Z}}a^kZ$%. Проверим, что $%G$% будет коммутативной, откуда всё следует.

Возьмём произвольные элементы $%x_1,x_2\in G$%. Их можно представить в виде $%x_1=a^kh_1$%, $%x_2=a^mh_2$%, где элементы $%h_1$%, $%h_2$% взяты из $%Z$%, то есть они перестановочны с любыми элементами группы. Тогда $%x_1x_2=a^kh_1a^mh_2=a^{k+m}h_1h_2=a^{m+k}h_2h_1=a^mh_2a^kh_1=x_2x_1$%, что и требовалось.