$$n^{k+1} - n! = 7(420k + 1)$$

задан 18 Апр '14 10:22

изменен 18 Апр '14 12:18

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

n не может быть больше семи, т.к. из соотношения $%n(n^k-(n-1)!)=7(420k+1)$% видно, что левая часть либо не делится на 7, либо делится на 49, а правая делится на 7, но не на 49.

Далее видно, что либо $%n=7$%, либо $%n^k-(n-1)!$% кратно 7. Рассмотрим случай $%n=7$%, тогда нетрудно видеть, что решение $%1+7+\ldots+7^{k-1}=70k+5!$% единственное при $%k=4$%.

Ясно также, что $%n$% не равно 2,3,4,5,6, т.к. в правой части нечетное число не кратное 3 и не кратное 5. И $%n$% не равно 1, т.к. правая часть положительна.

Других вариантов нет.

ссылка

отвечен 18 Апр '14 10:53

изменен 18 Апр '14 11:14

10|600 символов нужно символов осталось
0

Правая часть не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5. Отсюда ясно, что $%n > 6$%. Это значит, что $%n!$% кратно 7, и $%n$% должно делиться на 7. Рассмотрим случай $%n=7$%. Равенство можно при этом сократить на 7. Получится $%7^k=420k+721$%. Ещё раз сокращая на 7, имеем $%7^{k-1}=60k+103$%. При $%k=4$% имеет место равенство. Меньшие значения не подходят, и большие тоже не подходят, так как при увеличении $%k$% на $%1$% левая часть увеличивается в 7 раз, а правая -- только на 60, то есть менее чем вдвое. Получилось решение $%n=7$%, $%k=4$%.

Других решений нет, так как при $%n\ge14$% левая часть делится на $%7^2$%, а правая не делится.

ссылка

отвечен 18 Апр '14 11:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×72

задан
18 Апр '14 10:22

показан
1025 раз

обновлен
18 Апр '14 11:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru