Решить в целых числах (с обоснованием отсутствия иных решений) уравнение:

а)x!+1=y^2;

б)x!-1=y^2;

задан 18 Апр '14 21:17

изменен 18 Апр '14 21:35

10|600 символов нужно символов осталось
3

Мне кажется, здесь лучше было бы говорить о решениях в натуральных числах, поскольку равенства типа $%0!+1=1^2$%, $%0!-1=0^2$%, или получаемые заменой $%y$% на $%-y$%, не представляют большого интереса.

Пункт б) решается совсем просто: если $%x\ge4$%, то левая часть при делении на 4 даёт в остатке 3, а квадрат нечётного числа даёт в остатке 1 при делении на 4 (и даже при делении на 8). Случаи $%x\le3$% разбираются тривиально.

В пункте а) имеются решения $%4!+1=5^2$% и $%5!+1=11^2$%, $%7!+1=71^2$%. Есть ли другие решения в натуральных числах -- неизвестно. Это открытая проблема, отмеченная, например, в книге Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory. См. раздел D25.

Эта проблема отмечена также здесь как нерешённая. Если не ошибаюсь, положительное решение следует из т.н. ABC-гипотезы, но сама она не доказана.

ссылка

отвечен 18 Апр '14 21:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

Касательно б): использовать остатки от деления на $%3$%. если $%x>2$%, то в левой части остаток $%2$%, чего не может быть в правой части. Откуда варианты

  1. $%x=0$% или $%x=1$%, тогда $%y=0$%
  2. $%x=2$%, тогда $%y=\pm1$%.
ссылка

отвечен 18 Апр '14 21:49

изменен 18 Апр '14 21:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×464
×307
×120
×40

задан
18 Апр '14 21:17

показан
709 раз

обновлен
18 Апр '14 21:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru