|
Найти значения параметра $%a$%, при которых наименьшее значение функции $%f(x)=4x^2+4ax+a^2-2a+2$% на множестве $% |x|\geq1 $% меньше $%6$%. задан 18 Апр '14 22:46 
student |
|
Найдём те $%a$%, для которых это не так, то есть $%f(x)\ge6$% при всех $%x\in[-1;1]$%. В конце надо будет перейти к дополнению. Первое условие: $%f(-1)\ge6$%. Это $%a^2-6a+6\ge6$%, то есть $%a(a-6)\ge0$%. Второе условие: $%f(1)\ge6$%. Здесь $%a^2+2a+6\ge6$%, то есть $%(a+2)a\ge0$%. В пересечении будет $%a\in(-\infty;-2]\cup\{0\}\cup[6;+\infty)$%. Теперь запишем $%f(x)=(2x+a)^2-2a+2$% и поставим вопрос, когда абсцисса вершины соответствующей параболы принадлежит отрезку $%[-1;1]$%. Это будет при $%a=-2x$%, то есть $%a\in[-2;2]$%. Из отобранных нами значений сюда попадают только $%a=-2$% и $%a=0$%. Эти числа проверяем отдельно. Значение функции в вершине равно $%-2a+2$%, то есть это $%6$% в первом случае и $%2$% во втором. Последнее нам не подходит, то есть $%a=0$% мы удаляем. Тем самым, при $%a\in(-\infty;-2]\cup[6;+\infty)$% наименьшее значение функции на отрезке не меньше $%6$%, и ответом к задаче будет дополнение, то есть $%a\in(-2;6)$%. отвечен 18 Апр '14 23:07 
falcao |
У Вас с самого начала в условии было $%|x|\ge1$%? Я написал решение для случая $%|x|\le1$% -- мне показалось, что поначалу было именно так. Для нового случая надо тогда будет написать отдельное добавление.
@falcao: да, я сначала ошибся, прошу прощения :) но, думаю, разберусь, и скину получившийся ответ просто сверить.
@student: по идее, там всё по аналогичному принципу решается. Можно три случая рассмотреть, в связи с положением вершины, и тогда всё быстро считается.