$$(0, 1)$$

$$(-1, 0)$$

вот данная матрица.я решил по алгоритму, указанному тут http://mph.phys.spbu.ru/~budylin/quest/repl/exp/exp.html

жорданову форму матрицы я вычислял как указано тут http://www.dep805.ru/education/kk/jmatrix/part3.htm

ответ получился

$$(e^i, 0)$$

$$(0, e^i)$$

а у Филиппова в ответах

$$(cos1, sin1)$$

$$(-sin1, cos1)$$

задан 19 Апр '14 3:28

изменен 19 Апр '14 13:57

Angry%20Bird's gravatar image


9125

@Jeg92: если решать таким методом, то надо находить собственные числа и собственные векторы. В данном случае собственными числами будут $%i$% и $%-i$%, а у Вас второй минус пропал. Далее, там в формуле есть ещё матрица перехода $%T$% -- она легко строится по собственным векторам. И матрицу с $%e^i$% и $%e^{-i}$% по диагонали надо далее сопрячь матрицей $%T$%, в соответствии с формулой по ссылке. После этого ответ должен совпасть, с учётом формулы Эйлера.

В данном случае проще было бы пользоваться прямым определением, то есть вычислить все степени. Это то, что написал @MathTrbl.

(19 Апр '14 12:52) falcao

@falcao матрицу T я построил- исходя из того, что обственные векторы для i и −i суть (-i ;1)^T и (1;0)^T соответственно, матрица перехода будет иметь вид

(-i 1)

(1 0)

ммм..что Вы подразумеваете под "сопрячь матрицей"?мне казалось, сопрячь можно одну матрицу-транспонировать и заменить все элементы на сопряженные, но не могли бы Вы подсказать, как сопрячь две матрицы, ибо гугл молчит..

(19 Апр '14 13:35) Jeg92

@falcao если "под сопрячь матрицу A матрицей T" подразумевается TAT^(-1), то я это сделал

(e^i -2e^i )

(0 e^i)

я перепутал в изначальном посте и написал вместо этого промежуточный результат, но это все равно не то, что у Филиппова

(19 Апр '14 13:53) Jeg92

@Jeg92: собственный вектор (-i;1), взятый как столбец, Вы нашли верно. Но второй вектор (1;0) собственным не будет! Умножьте на него исходную матрицу, и Вы увидите, что это не так. В нём тоже должно фигурировать i: без этого умножения на -i произойти не может. Сопряжение -- это и есть операция $%TAT^{-1}$%. Если всё исправить и сделать как надо, то ответ совпадёт. Думаю, очередная попытка должна быть успешной.

(19 Апр '14 18:08) falcao

@falcao thanx, it works when the second vector is correctly found

(19 Апр '14 20:58) Jeg92

@falcao и все-таки, несмотря на то, что в конце-концов жорданов метод дал правильный результат,хотелось бы также полностью разобраться и с методом по определению,и тут возникает еще один вопрос:ряд

\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}

,сумма для элемента a11,равна нулю, a не cos 1..может быть, я что-то неправильно считаю, но сервис онлайн-подсчета суммы ряда http://www.matcabi.net/sum.php дает тот же результат, что и у меня

(19 Апр '14 21:11) Jeg92

@Jeg92: суммировать надо от нуля. Ряд Тейлора для косинуса такой: $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$$ При $%x=1$% получается то, что нужно.

(19 Апр '14 23:12) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ваша ошибка состоит в том, что матрица уже приведена к жордановой форме (т. к. у неё комплексные значения). Если матрица $%2\times2$% имеет собственные числа $%a\pm bi$%, то её жорданова форма имеет вид $$\Lambda=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}$$

Поэтому надо рассмотреть исходную матрицу.

$%A^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$%

$%A^3=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$%

$%A^4=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$%

$%A^5=A$%

Теперь поэлементно найдём $%\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{A^n}{n!}$%

Для элемента с индексами 11: $$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}=\cos1$$

Остальные элементы считаются таким же образом.

ссылка

отвечен 19 Апр '14 8:19

изменен 19 Апр '14 8:20

@MathTrbl: я думаю, что тут всё-таки имелось в виду другое под жордановой формой, а именно, матрица с $%i$% и $%-i$% по диагонали. Конечно, эти матрицы безо всякого преобразования легко возводятся в степени, и сам метод уместно применять тогда, когда это не так. То есть непосредственный способ (через определение экспоненты) здесь явно лучше, но если в задании говорилось о приведении к ж.ф., то следовало, наверное, диагонализировать.

(19 Апр '14 12:48) falcao

@MathTrbl большое спасибо.только не совсем понял, для какой матрицы поэлементно находим

$$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}=\cos1$$

, для $%A^2, A^4$% или $%A=A^5$% (исходя из того, что элемент $%a11=-1$% в вашей записи, это $%A^2$%, но у $%A^2$% одинаковые элементы на $%a12$% и $%a21$%, между тем как у Филиппова в ответах их суммы отличаются знаком), также не понятно, почему нижний предел суммы равен 1, a не 0, и почему берем факториал от $%2k$%, a не от $%k$%, как в формуле (во всяком случае, нам препод именно такую, как я описываю, формулу давал).

(19 Апр '14 13:08) Jeg92

@falcao но ведь если по определению, то это будет

$$\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(0)^k}{(k)!}=0$$

для $%a11$% ибо $%a11=0$%, a в ответе это $%cos 1$%..

(19 Апр '14 13:45) Jeg92

@Jeg92, по определению экспоненты. находим все степени матрицы $%A^n$%, и вот для них берём конкретный элемент (с одинаковыми для всех индексами). 2k - потому что для верхнего левого элемента на нечётных степенях матрицы стоят нули в этом месте.

(19 Апр '14 15:02) MathTrbl

@falcao если считать по определению как написано тут http://eelib.narod.ru/toe/Novg_2.01/APP/App-3.htm то все вроде сходится

(19 Апр '14 15:21) Jeg92

@MathTrbl to jest' pered k budet stojat' kratnost' povtorenija togo ili inogo elementa pri vozvedenii v stepen', a formula

\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}=\cos1

vyrazhaet a11 kak dlia A^1, tak i dlya A^2, A^3 i tak dalee, blagodarja indexu k, kotoryj meniaetsia?

(19 Апр '14 15:44) Jeg92

Да, это верно.

(19 Апр '14 18:23) MathTrbl

@Jeg92: если считать, пользуясь определением, то надо сначала возводить матрицу A в степени, и смотреть, какая будет закономерность. Здесь она простая (всё имеет период 4). Потом для каждого матричного элемента получится ряд, и из формул Тейлора видно, что там синусы и косинусы.

(19 Апр '14 18:40) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,116
×433
×162
×14

задан
19 Апр '14 3:28

показан
1755 раз

обновлен
19 Апр '14 23:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru