анализ - Любая ли выпуклая фигура имеет границу конечной длины?

Можно предложить следующую схему доказательства того, что граница выпуклой области спрямляема..

1) Рассматриваем компактную выпуклую плоскую фигуру Ф на координатной плоскости. В силу компактности у нее будет самая левая точка A, самая верхняя B, самая правая C и самая нижняя D. Каждая из этих точек может быть не единственной, но для выпуклой фигуры не единственность будет означать превращение точки в отрезок. Сути это не изменит, поэтому для простоты будем считать точки A,B,C,D единственными и различными. Проведя через точки A,B,C,D прямые, параллельные осям, получим описанный прямоугольник П.

2) Т.к. граница априори не предполагается непрерывной, вводим следующую процедуру поиска граничных точек, например, на ветви AB. Проведем через точку A прямую, параллельную оси x, а через точку B - прямую, параллельную оси y. Пусть, Q - точка пересечения этих прямых. Возьмем произвольную точку P на отрезке AQ и проведем из точки P луч, сонаправленный с осью y. Далее возьмем на луче произвольную точку, не принадлежащую Ф (например, за пределами П) и запустим процесс деления отрезка пополам, выбирая на каждом шаге отрезок с концами по разные стороны от границы. Предельная точка этого процесса Г и будет граничной точкой.

3) Возьмем на отрезке AQ последовательность точек {P(k)} с постоянным шагом и сгенерируем соответствующие граничные точки {Г(к)}. В силу выпуклости расстояние |P(k),Г(k)| - возрастающая функция от x. При этом если Г(k) имеет координаты (x(k),y(k)), то y(k+1)-y(k) - не возрастающая функция x.

4) Сгенерируем {P(k)} - последовательность точек, плотно заполняющих отрезок AQ. Соответствующая последовательность {Г(к)} - это последовательность узлов ломанной, вписанной в границу. Эта ломанная имеет конечную длину. Исходя из не возрастания разности y(m)-y(k) при условии x(m)-x(k)=const>0, можно доказать, что все ломанные, построенные таким образом, будут иметь одинаковую длину. Это и означает, что граница спрямляема.

5) Аналогично для ветвей BC, CD и DA. Если какая-то из точек A, B, C или D превращается в отрезок, то этот отрезок просто добавляется к границе.

Для полного доказательства необходимо подробно прописать и доказать все моменты, которые здесь только обозначены, но, надеюсь, что по сути - правильно.

Дополнение. Эту теорему можно сформулировать так. "Граница компактной выпуклой плоской фигуры является кусочно-монотонной и непрерывной замкнутой кривой".