Недавно мы обсуждали вопрос о периметрах выпуклых многоугольников. Естественно возникла идея обобщить результат на произвольные выпуклые фигуры. Это возможно, если граница выпуклой фигуры спрямляема, т.е. имеет длину. Определение длины: предел длин вписанных ломаных.
Любая ли выпуклая фигура имеет спрямляемую границу? Может ли граница выпуклой фигуры быть нигде не гладкой, или хотя бы негладкой на множестве точек, всюду плотно заполняющих ее границу?

задан 29 Мар '12 22:38

изменен 31 Мар '12 16:19

Вы, наверное, имели в виду "произвольные выпуклые ФИГУРЫ"

(30 Мар '12 16:33) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно предложить следующую схему доказательства того, что граница выпуклой области спрямляема..

1) Рассматриваем компактную выпуклую плоскую фигуру Ф на координатной плоскости. В силу компактности у нее будет самая левая точка A, самая верхняя B, самая правая C и самая нижняя D. Каждая из этих точек может быть не единственной, но для выпуклой фигуры не единственность будет означать превращение точки в отрезок. Сути это не изменит, поэтому для простоты будем считать точки A,B,C,D единственными и различными. Проведя через точки A,B,C,D прямые, параллельные осям, получим описанный прямоугольник П.

2) Т.к. граница априори не предполагается непрерывной, вводим следующую процедуру поиска граничных точек, например, на ветви AB. Проведем через точку A прямую, параллельную оси x, а через точку B - прямую, параллельную оси y. Пусть, Q - точка пересечения этих прямых. Возьмем произвольную точку P на отрезке AQ и проведем из точки P луч, сонаправленный с осью y. Далее возьмем на луче произвольную точку, не принадлежащую Ф (например, за пределами П) и запустим процесс деления отрезка пополам, выбирая на каждом шаге отрезок с концами по разные стороны от границы. Предельная точка этого процесса Г и будет граничной точкой.

3) Возьмем на отрезке AQ последовательность точек {P(k)} с постоянным шагом и сгенерируем соответствующие граничные точки {Г(к)}. В силу выпуклости расстояние |P(k),Г(k)| - возрастающая функция от x. При этом если Г(k) имеет координаты (x(k),y(k)), то y(k+1)-y(k) - не возрастающая функция x.

4) Сгенерируем {P(k)} - последовательность точек, плотно заполняющих отрезок AQ. Соответствующая последовательность {Г(к)} - это последовательность узлов ломанной, вписанной в границу. Эта ломанная имеет конечную длину. Исходя из не возрастания разности y(m)-y(k) при условии x(m)-x(k)=const>0, можно доказать, что все ломанные, построенные таким образом, будут иметь одинаковую длину. Это и означает, что граница спрямляема.

5) Аналогично для ветвей BC, CD и DA. Если какая-то из точек A, B, C или D превращается в отрезок, то этот отрезок просто добавляется к границе.

Для полного доказательства необходимо подробно прописать и доказать все моменты, которые здесь только обозначены, но, надеюсь, что по сути - правильно.

Дополнение. Эту теорему можно сформулировать так. "Граница компактной выпуклой плоской фигуры является кусочно-монотонной и непрерывной замкнутой кривой".

ссылка

отвечен 30 Мар '12 15:58

изменен 31 Мар '12 16:00

Какую плоскую фигуру Вы считаете выпуклой? Какими точками заполнена эта фигура? Например,круг без окружности. Что можно сказать об этой фигуре?

(30 Мар '12 16:57) Anatoliy

Я же сказал "компактная", т.е. ограниченная и замкнутая. Круг без окружности - это открытое (т.е. не замкнутое) множество! Что касается выпуклости - определение стандартное: если точки A,B принадлежат множеству, то и отрезок AB принадлежит ему.

(30 Мар '12 17:31) Андрей Юрьевич

Круг без окружности - выпуклая фигура (определение выпуклой фигуры я знаю). Я акцентировал внимание на границу области.

(30 Мар '12 18:05) Anatoliy

А, кстати, может ли у открытой выпуклой фигуры быть граница ненулевой меры (в смысле Жордана)? Как-то трудно это представить...

(30 Мар '12 19:28) DocentI
1

Мне кажется, из моего доказательства следует, что нельзя. Если пронумеровать точки ломаной по возрастанию x, то, делая расстояние по x между граничными точками не больше eps, получаем, что площади содержащих границу прямоугольников с вершинами Г(k), Г(k+1)по порядку величины будут O(eps^2), а количество этих прямоугольников 1/eps, т.е. их суммарная мера -->0.

(30 Мар '12 22:47) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×338

задан
29 Мар '12 22:38

показан
910 раз

обновлен
31 Мар '12 16:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru