Если дан сегмент [a, b] функции f(x), справедливо ли утверждение, что краевые точки (т.е. (a, f(a)) и (b, f(b)) обязательно являются экстремумами? Просто я наткнулся на объяснения в которых утверждается что любая краевая точка обязательно является минимумом/максимумом функции (например точка x=0 является минимум функции f(x)=x область определения которой является x>=0). В других местах вообще пишут, что краевые точки могут быть только абсолютными экстремумами, т.е. только если координата y выше чем у любой другой точки в области определения. Как мне кажется, у краевой точки не может быть окрестности (ибо она должна существовать с обеих сторон), и поэтому она вообще не может быть экстремумом (т.к., попросту говоря, для этого нужно доказать, что существует окрестность М при которой все точки в М "ниже" или "выше" ее).

задан 20 Апр '14 0:24

изменен 20 Апр '14 0:26

Это утверждение не справедливо даже для "гладких" функций. Например, рассмотрим функцию $%y=\sin x$% на отрезке $%x\in[\frac{\pi}4;\frac{7\pi}4]$%. Легко представить себе график и увидеть, что максимум и минимум там достигаются не на концах. Обычно при нахождении экстремумов, а также наибольшего/наименьшего значения помимо концов отрезка берутся ещё т.н. "критические точки", где производная функции обращается в ноль либо не существует. Значения в этих точках сравниваются, и отбираются "экстремальные". На концах отрезка можно исследовать экстремум (абсолютный) для монотонных функций.

(20 Апр '14 0:44) falcao

@falcao- спасибо за ответ. Только у меня возникает другой вопрос - а почему вообще краевая точка может быть экстремумом? В Американской литературе часто пишут "endpoint extremum" несмотря на то, что "подозрительные" краевые точки нельзя стандартно проверять на предмет максимума/минимума (по той же причине - нету окрестности с двух сторон). В частности, в Фихтенгольце самые "высокие/низкие" краевые точки именно так и называют, чётко отличая их от экстремумов ("максимальных/минимальных").

(20 Апр '14 14:02) lzdllddl

@lzdllddl: это вопрос о соглашениях. Понятно, что можно определить и так, и так. Вопрос состоит в том, как будет удобнее. Лично мне кажется, что нет смысла вводить для экстремума на краю какой-либо особый термин. Кроме того, если исходить из общетопологического понятия окрестности, то всё в порядке. У нас есть топология в $%\mathbb R$%, и если $%[a;b]$% рассматривать как топологическое подпространство, то окрестностями, по определению, будут пересечения окрестностей всего пространства с отрезком. В этом смысле $%[0;1/2)$% не есть окрестность на прямой, но для отрезка она ею будет.

(20 Апр '14 14:21) falcao

@falcon - спасибо. Т.е., правильно ли я понимаю, что краевые точки могут быть экстремумами лишь если они самые "высокие/низкие" из всех локальных экстремумов на отрезке? Допустим часто приводят следующий пример: дана функция $%(x-1)^2$% на отрезке [0,3] - локальный минимум у нее в точке x=1 (по производной). Но самая высокая точка у нее это x=3 (краевая). Выходит, что тут два экстремума - x=1 и x=3, пичем x=0 не является экстремумом (не самая низкая/высокая точка). Т.е. даже не проверяется производная краевых точек а просто берут самые высокие/низкие и говорят, что это экстремумы (глобальные).

(20 Апр '14 16:23) lzdllddl

@lzdllddl: во всех таких случаях надо действовать в соответствии с определениями. Как уже говорилось, в разных курсах (изложениях) они могут быть разными. Если речь идёт о нахождении локальных экстремумов, то бывает удобнее говорить только о внутренних точках отрезка, и так довольно часто поступают. Если же речь о точках глобального максимума и минимума, то удобнее учитывать все точки.

(20 Апр '14 16:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,793

задан
20 Апр '14 0:24

показан
1218 раз

обновлен
20 Апр '14 16:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru