формализация - Как мы понимаем выражения со знаком равенства?

Равенство множеств.

Равенство геометрических фигур.

Весьма оригинальный вопрос. Только вот беда - все перечисленные "смыслы", исключая пп. 5 и 8, суть один и тот же смысл (математический), используемый в различных фразах. Так, например, в предложениях "Дом строится" и "Дом заселяется" слово "дом" имеет один и тот же смысл, хотя "дом заселяющийся" и "дом строящийся" - суть разные вещи. У Вас в п.1 равенство означает совпадение двух объектов, которые обозначены различными именами (определенными термами). Само по себе запись типа "тютька"="тятька" не предполагает, что слева и справа от равенства записаны имена одного объекта, но такая запись является истинным предложением только в этом случае. Ровно то же самое и п.9. Чем отличается равенство двух дробей 1/2=2/4 от равенства неопределенных интегралов? Только тем, что рациональные числа являются классами "равных" дробей, а неопределенные интегралы классами функций (элементы фактор-группы группы интегрируемых функций по подгруппе постоянных), которые никто не называет "равными". В пунктах 2, 3, 4, 6, 7 Вас речь идет о различных атомарных формулах с символом равенства и свободными переменными. Такие формулы называются открытыми и не могут быть ни истинными, ни ложными, но они становятся таковыми, если для переменных задать значения (интерпретацию). Сами по себе такие записи не знают, какую роль им уготовил человек их исполнивший. Но школьные навыки внесли свою лепту в постановку здешнего вопроса: в заголовке вопроса "знак равенства" (символ, конечно, математический) путается со словом "равенство", понимаемым как термин русского языка (элемент метаматематического арго)- название вида математических формул. Невольно вспоминаем школьное: "уравнением называется равенство, содержащее..." . В математическом жаргоне формулы со свободными переменными обычно называют определениями. При этом уравнение, как правило служит краткой записью задачи об отыскании объекта (часто таким объектом является множество чисел), который определяется этой формулой. Но само уравнение не знает, для чего его написали и вполне может считать себя как условием, налагаемым на пару чисел, так и определением функции и даже приравниванием переменной и функции. В пункте 5, как я понял, речь идет об использовании символа "=" для оператора присваивания в некоторых алгоритмических языках. Это, действительно, совсем иная семантика символа, которую, впрочем, нельзя считать вполне математической. Т.к. здесь это уже элемент предметного языка, тогда как в математике более популярна эголитарная трактовка - символ равенства считается логическим и аналогичен символам дизъюнкции, конъюнкции, кванторам, переменным, хотя и служит для записи предметных атомарных формул. В пункте 8 символ равенства обычно используется как удобная аббревиатура в математическом арго (в русском или ином) - естественном языке, на котором математики говорят и пишут не о бытовых проблемах, а о своих профессиональных занятиях. Конечно, вся математическая символика вышла из аббревитур и этот выариант тоже можно считать фактом собственно математического, а не русского языка. Но тогда символ равенства будет играть ту же роль, что и всегда, но зато в математику войдут полноценные "новые" символы О (о-большое) и о (о-малое). Так что речь идет не о семантике символа равенства, а о семантике именно этих новых символов.
Если же Вас и впрямь интересует не математическая семантика символа равенства, а способы его употребления "в математической речи", то есть проблемы поинтереснее. Например, найти все варианты употребления слова "мама". Вот одно из таких: "мама рыба" - рыбка, выметавшая икринку. Или, скажем, "мама слониха". Ей Богу, у этого слова столько полезных употреблений, что их поиск может наполнить смыслом всю жизнь.

Замечательные ответы-уточнения, я подозревал по тексту, что речь идет о методике преподавания, но не решился так считать из-за фразы

Я нашла у знака равенства порядка десяти различных "смыслов",

Мне предлагают дать оценку ответам, но я не знаю, как здесь это делается. Оценка положительная.

По моим наблюдениям, математики излагают часть сведений на сленге.

Примеры

$%1. \ \ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \Leftrightarrow x \in \{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \ \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\} $%

$%2. \ \ |x| = \begin {cases} -x, & \mathrm{if} \ x < 0 \\ x, & \mathrm{if} \ x \geq 0 \end {cases} \Leftrightarrow (x < 0 \rightarrow |x| = -x) \wedge (x \geq 0 \rightarrow |x| = x) $%

$%3. \ \ \cos x = a$% Ответ: $% \ x = \pm \arccos a + 2 \pi k, \ k \in Z $%

$%\Leftrightarrow \cos (x) = a \leftrightarrow \exists k (k \in \mathbb{Z} \wedge x \in \{2 \pi k - \arccos (a), \ 2 \pi k + \arccos (a)\}) $%

Сленг возникает естественно.

Примеры

$%1. \ \ \forall_{\{x,y\} \ \subseteq \ \{Adam, \ Eve\} \ \wedge \ x \ \neq \ y} (x$% loved $%y) \Leftrightarrow$% Adam loved Eve, and Eve loved Adam. $%\Leftrightarrow$% Adam and Eve loved each other.

$%2. \ \ \forall_{\{x,y\} \ \subseteq \ \{Alice, \ Beatrice, \ Clarice\} \ \wedge \ x \ \neq \ y} (x$% loves $%y) \Leftrightarrow$% Alice, Beatrice, and Clarice love one another.

$%3. \ \ \exists_{\{x,y\} \ \subseteq \ \{Adam, \ Eve\} \ \wedge \ x \ \neq \ y} (x$% loved $%y) \Leftrightarrow$% Adam loved Eve, and/or Eve loved Adam.

$%4. \ \ \exists_{\{x,y\} \ \subseteq \ \{Adam, \ Eve\} \ \wedge \ x \ \neq \ y}^{= 0} (x$% loved $%y) \Leftrightarrow$% Neither Adam loved Eve, nor Eve loved Adam.

$%5. \ \ \exists_{\{x,y\} \ \subseteq \ \{Adam, \ Eve\} \ \wedge \ x \ \neq \ y}^{= 1} (x$% loved $%y) \Leftrightarrow$% Either Adam loved Eve, or Eve loved Adam.