Я нашла у знака равенства порядка десяти различных "смыслов", т.е. различных употреблений в математической речи. Например:

  1. Числовое равенство. Равенство без переменных. Иногда доказать его - трудная задача (см., например, здесь).
  2. Уравнение. Равенство с переменными, которое может быть верно при некоторых значениях переменной. При этом необходимо найти эти значения (или хотя бы доказать их существование).
  3. Тождество: равенство, верное для всех значений переменной (возможно, из некоторого множества, указанного или воспроизводимого по умолчанию).
  4. Условие.
  5. Присвоение.
  6. Определение функции.
  7. Приравнивание переменной и функции.
  8. Равенство с о-малыми.
  9. Равенство неопределенных интегралов.

Согласны ли вы с этой классификацией? Существуют ли другие способы использования знака "="?

задан 29 Мар '12 23:34

изменен 27 Апр '12 1:37

10|600 символов нужно символов осталось
2

Включусь в обсуждение. Любая классификация носит иерархический характер (живые существа делятся на растения и животных, животные делятся, в свою очередь, на типы, каждый тип на классы и т.д.). Если подойти с этой точки зрения к знаку равенства, то на верхнем уровне такой иерархии я вижу разделение на две большие группы

  1. Эквивалентность (в том или ином смысле) двух объектов, имеющих разные имена (т.е. способы идентификации). К этой группе относятся пп. 1,2,3,4,8,9
  2. Присваивание, т.е. назначение данному объекту нового имени. К этой группе относятся пп. 5,6,7.

Принципиальная разница между этими группами состоит в том, что первая группа имеет смысл декларации, объекты соединяемые знаком равенства, равноправны. Вторая же группа предполагает неравноправие объектов. Это хорошо коррелирует с тем, о чем я говорил, когда мы обсуждали теорию множеств: если любой элемент рассматривать как "неоднородную совокупность", т.е. собственно элемент + все его свойства, включая все имена, то вторую группу нужно рассматривать как процесс добавления в "неоднородную совокупность" нового имени.

Кстати, в маткаде, входной язык которого наиболее близок к "естественному" математическому языку, проблема этих двух смыслов сразу же возникла и для ее решения пришлось ввести 2 знака равенства - обычный и "булев" (утолщенный).

ссылка

отвечен 27 Апр '12 16:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Равенство множеств.

Равенство геометрических фигур.

ссылка

отвечен 30 Мар '12 14:43

изменен 30 Мар '12 15:27

Да, хорошо! Равенство множеств я бы "присоединила" к числовым равенствам, т.к. сравниваются фиксированные объекты в смысле полной идентичности.
Равенство фигур (мы в школе говорили "конгруэнтность" - это эквивалентность (приводящая также к равенству классов как элементов фактор-множества).

(30 Мар '12 19:25) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Весьма оригинальный вопрос. Только вот беда - все перечисленные "смыслы", исключая пп. 5 и 8, суть один и тот же смысл (математический), используемый в различных фразах. Так, например, в предложениях "Дом строится" и "Дом заселяется" слово "дом" имеет один и тот же смысл, хотя "дом заселяющийся" и "дом строящийся" - суть разные вещи. У Вас в п.1 равенство означает совпадение двух объектов, которые обозначены различными именами (определенными термами). Само по себе запись типа "тютька"="тятька" не предполагает, что слева и справа от равенства записаны имена одного объекта, но такая запись является истинным предложением только в этом случае. Ровно то же самое и п.9. Чем отличается равенство двух дробей 1/2=2/4 от равенства неопределенных интегралов? Только тем, что рациональные числа являются классами "равных" дробей, а неопределенные интегралы классами функций (элементы фактор-группы группы интегрируемых функций по подгруппе постоянных), которые никто не называет "равными". В пунктах 2, 3, 4, 6, 7 Вас речь идет о различных атомарных формулах с символом равенства и свободными переменными. Такие формулы называются открытыми и не могут быть ни истинными, ни ложными, но они становятся таковыми, если для переменных задать значения (интерпретацию). Сами по себе такие записи не знают, какую роль им уготовил человек их исполнивший. Но школьные навыки внесли свою лепту в постановку здешнего вопроса: в заголовке вопроса "знак равенства" (символ, конечно, математический) путается со словом "равенство", понимаемым как термин русского языка (элемент метаматематического арго)- название вида математических формул. Невольно вспоминаем школьное: "уравнением называется равенство, содержащее..." . В математическом жаргоне формулы со свободными переменными обычно называют определениями. При этом уравнение, как правило служит краткой записью задачи об отыскании объекта (часто таким объектом является множество чисел), который определяется этой формулой. Но само уравнение не знает, для чего его написали и вполне может считать себя как условием, налагаемым на пару чисел, так и определением функции и даже приравниванием переменной и функции. В пункте 5, как я понял, речь идет об использовании символа "=" для оператора присваивания в некоторых алгоритмических языках. Это, действительно, совсем иная семантика символа, которую, впрочем, нельзя считать вполне математической. Т.к. здесь это уже элемент предметного языка, тогда как в математике более популярна эголитарная трактовка - символ равенства считается логическим и аналогичен символам дизъюнкции, конъюнкции, кванторам, переменным, хотя и служит для записи предметных атомарных формул. В пункте 8 символ равенства обычно используется как удобная аббревиатура в математическом арго (в русском или ином) - естественном языке, на котором математики говорят и пишут не о бытовых проблемах, а о своих профессиональных занятиях. Конечно, вся математическая символика вышла из аббревитур и этот выариант тоже можно считать фактом собственно математического, а не русского языка. Но тогда символ равенства будет играть ту же роль, что и всегда, но зато в математику войдут полноценные "новые" символы О (о-большое) и о (о-малое). Так что речь идет не о семантике символа равенства, а о семантике именно этих новых символов.
Если же Вас и впрямь интересует не математическая семантика символа равенства, а способы его употребления "в математической речи", то есть проблемы поинтереснее. Например, найти все варианты употребления слова "мама". Вот одно из таких: "мама рыба" - рыбка, выметавшая икринку. Или, скажем, "мама слониха". Ей Богу, у этого слова столько полезных употреблений, что их поиск может наполнить смыслом всю жизнь.

ссылка

отвечен 27 Апр '12 1:07

Меня интересует методический подход. Т.е. не "смысл знака равенства" а "что мы понимаем под выражениями с равенством". Согласна, что пп. 2, 3 и 4 - оттенки одно и того же смысла. П. 5 - не только в комп. языках, напр. "Пусть $%t= 2x$%. Это еще один вариант пп. 2-4. Менее согласна присоединять туда же 6 и 7, так как в них больше нечеткости. Меня напрягает, когда с переменной в равенстве y = f(x) действуют как с функцией. Я понимаю, что такое df(x), но что такое dy? Равносильны ли равенства $%y=2^x$% и $%2^x=y$%? Почему-то никто не пишет "Пусть $%\sin x = f(x)$%, а только в обратном порядке.

(27 Апр '12 1:26) DocentI

Согласна, что равенство дробей, неопределенных интегралов и конгруэнтных фигур - это равенство классов соответствующей факторизации. Однако на практике (особенно со школьниками) не всегда удается использовать такой "научный" подход. Так что нужны бывают некоторые разъяснения. Поэтому я бы выделили такие равенства как "трудные".

(27 Апр '12 1:30) DocentI

Согласна с критикой названия вопроса (темы?). Подумаю, как его переделать. Что касается того, что "интересно", а что нет - Вы наверное, не преподаете. Поэтому у Вас не возникает конфликта между точными математическими смыслами и той интерпретацией, которую им надо придавать при разговоре с заведомыми непрофессионалами, коими являются школьники и студенты.

(27 Апр '12 1:35) DocentI
1

Обьем вашего ответа доказывает, что все таки тема была интересная.

(27 Апр '12 8:42) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
1

Замечательные ответы-уточнения, я подозревал по тексту, что речь идет о методике преподавания, но не решился так считать из-за фразы

Я нашла у знака равенства порядка десяти различных "смыслов",

Мне предлагают дать оценку ответам, но я не знаю, как здесь это делается. Оценка положительная.

ссылка

отвечен 27 Апр '12 8:41

изменен 27 Апр '12 8:43

В данной теме скорее я даю оценку ответам. А вообще есть значки "большого пальца" и слово "наградить".
Мне было приятно прочитать Ваш заинтересованный и глубокий ответ. Приношу извинения за некоторую вольность своего слога: "журналистская" привычка. Я пишу много статей для школьников. В частности, статья на эту тему называлась "И это все равно".

(27 Апр '12 9:01) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

По моим наблюдениям, математики излагают часть сведений на сленге.

Примеры

$%1. \ \ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \Leftrightarrow x \in \{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \ \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\} $%

$%2. \ \ |x| = \begin {cases} -x, & \mathrm{if} \ x < 0 \\ x, & \mathrm{if} \ x \geq 0 \end {cases} \Leftrightarrow (x < 0 \rightarrow |x| = -x) \wedge (x \geq 0 \rightarrow |x| = x) $%

$%3. \ \ \cos x = a$% Ответ: $% \ x = \pm \arccos a + 2 \pi k, \ k \in Z $%

$%\Leftrightarrow \cos (x) = a \leftrightarrow \exists k (k \in \mathbb{Z} \wedge x \in \{2 \pi k - \arccos (a), \ 2 \pi k + \arccos (a)\}) $%

Сленг возникает естественно.

Примеры

$%1. \ \ \forall_{\{x,y\} \ \subseteq \ \{Adam, \ Eve\} \ \wedge \ x \ \neq \ y} (x$% loved $%y) \Leftrightarrow$% Adam loved Eve, and Eve loved Adam. $%\Leftrightarrow$% Adam and Eve loved each other.

$%2. \ \ \forall_{\{x,y\} \ \subseteq \ \{Alice, \ Beatrice, \ Clarice\} \ \wedge \ x \ \neq \ y} (x$% loves $%y) \Leftrightarrow$% Alice, Beatrice, and Clarice love one another.

$%3. \ \ \exists_{\{x,y\} \ \subseteq \ \{Adam, \ Eve\} \ \wedge \ x \ \neq \ y} (x$% loved $%y) \Leftrightarrow$% Adam loved Eve, and/or Eve loved Adam.

$%4. \ \ \exists_{\{x,y\} \ \subseteq \ \{Adam, \ Eve\} \ \wedge \ x \ \neq \ y}^{= 0} (x$% loved $%y) \Leftrightarrow$% Neither Adam loved Eve, nor Eve loved Adam.

$%5. \ \ \exists_{\{x,y\} \ \subseteq \ \{Adam, \ Eve\} \ \wedge \ x \ \neq \ y}^{= 1} (x$% loved $%y) \Leftrightarrow$% Either Adam loved Eve, or Eve loved Adam.

ссылка

отвечен 27 Апр '12 10:02

изменен 27 Апр '12 13:30

Я даже догадываюсь, почему они это делают. Почитав Ваши ответы...

(27 Апр '12 10:09) DocentI

Я так и не понял - сленг слева или справа?

(27 Апр '12 18:24) Андрей Юрьевич

Местонахождение сленга зависит от "точки зрения" ("системы отсчёта") наблюдателя.

Сравните:

1) "Я провалился на экзамене [по основаниям математики]." <=> "Я не сдал экзамен [по основаниям математики].",

2) "Я не провалился на экзамене [по основаниям математики]." <=> "Я сдал экзамен [по основаниям математики].".

(27 Апр '12 22:31) Галактион

И что из вышенаписанного сленг, а что не сленг?

(28 Апр '12 1:00) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×13

задан
29 Мар '12 23:34

показан
2352 раза

обновлен
28 Апр '12 1:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru