В правильной четырехугольной пирамиде SABCD стороны основания равны sqrt(2), а боковые ребра равны sqrt(10). На ребре SA отмечена точка P так, что AP:PS = 2:3, точка M - середина ребра SC. Найдите угол между плоскостью MPD и плоскостью основания пирамиды.

задан 20 Апр '14 14:37

изменен 20 Апр '14 14:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Введем координатную систему(см. рисунок), находим координати точек.

Можно использовать тот факт,что если точка $%М$% делит отрезок $%AB$% в отношении $%m:n,$% считая от точки $%A,$% то координаты $%M$% можно найти по формулам $% x=\frac{x_1n+x_2m}{m+n},y=\frac{y_1n+y_2m}{m+n},z=\frac{z_1n+z_2m}{m+n},$% где $%А(x_1;y_1,z_1),B(x_2;y_2,z_2).$%

2) Составим уравнение плоскости $%PMD.$%

Так-как плоскость проходит через точку $%D(0;1;0),$% то уравнение имеет вид $%ax+b(y-1)+cz=0.$% Подставляя в этом уравнении координаты точек $%P$% и $%M$%, получим систему $%3a-5b+6c=0;a+2b-3c=0\Rightarrow b=5a, c=11/3a. $% После сокращения на $%a,$% получим уравнение $%3x+15y+11z-15=0.$%

3)Остается найти угол между плоскостей $%3x+15y+11z-15=0$% и $%z=0.$% найдем угол нормальных векторов этих плоскостей $%\vec{\{3;15;11\}}$% и $%\vec{\{0;0;1\}}$%.

$%\cos\varphi=\frac{3\cdot0+15\cdot 0+11\cdot 1}{\sqrt{3^2+15^2+11^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{11}{355}>0\Rightarrow \varphi $% равен углу между плоскостей.

Ответ. $%arccos\frac{11}{355}$%

alt text

ссылка

отвечен 20 Апр '14 19:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,686
×2,910
×133
×88

задан
20 Апр '14 14:37

показан
3177 раз

обновлен
20 Апр '14 19:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru