|
Доказать, что нормальный делитель $%H$% конечного индекса $%j$% группы $%G$% содержит все элементы $%g \in G$%, порядок которых взаимно прост с $%j$%. Верно ли это для бесконечных групп? Возьмём произвольный $%h \in G$% удовлетворяющий условиям теоремы и покажем, что он принадлежит $%H$%. Давайте сначала рассмотрим $%G$% конечного порядка. По теореме Лагранжа $%|G|=j \ |H|$%, в тоже время порядок $%h$% делит $%|G|$%, следовательно, $%\mathrm{ord} \ h$% делит $%|H|$%. Это первый факт. А второй факт заключается в том, что $%\mathrm{ord} \ h=\mathrm{ord} \ ghg^{-1} \ \forall \ g \in G$%. Как быть дальше пока непонятно. Есть идеи? Добавление Можно рассмотреть факторгруппу $%G / H$% Тогда её порядок равен индексу $%H$%. Опять же, по теореме Лагранжа, порядок каждого элемента $%Hg \in G/H$% делит $%j$%. Но $%|Hg|=|g|$%. Верно ли, что можно отсюда противоречием получить, что если порядок $%h \in G$% взаимнопрост с $%j$%, то $%h \in H$% (в противном случае $%|Hh|=|h|$% делит $%j$%)? задан 30 Мар '12 9:18 
Fedya |
|
Я давно занимался теорией групп. А может стоит привести контрпример? Например, группа, содержащая циклическую нормальную подгруппу простого порядка. Какие возможны при этом значения индекса для группы? Рассмотрим группу G, состоящую из четырех элементов, операция в которой представлена таблицей:
отвечен 30 Мар '12 17:43 
Anatoliy Похоже, что от порядка группы $%G$% ничего не зависит, главное, что порядок факторгруппы конечен. Я не очень уверен в корректности рассуждения "от противного", но вроде всё так.
(30 Мар '12 21:35)
Fedya
|
a0 - нейтральный элемент. Подгруппа H={a0,a1}- нормальный делитель группы G, индекс j=2,
элемент a1 имеет порядок 2. Порядок элемента группы и индекс не являются взаимно простыми числами.|
Это верно для всех групп. Пусть $%g\in G$% -- элемент порядка $%k$%, взаимно простого с $%j$%. Представим единицу в виде целочисленной линейной комбинации: $%1=ku+jv$%, где $%u,v\in{\mathbb Z}$%. Поскольку $%g^k=e$%, отсюда следует, что $%g=g^{jv}$%. Факторгруппа $%G/H$% имеет порядок $%j$%, и любой её элемент в $%j$%-й степени равен единице по следствию из теоремы Лагранжа. Следовательно, $%gH=g^{jv}H=(g^vH)^j=H$%, а это означает, что $%g\in H$%. отвечен 20 Фев '13 21:10 
falcao |