$$w=(z-2i)/(z+2i);x>0;y>0$$ Насколько я понял, сие есть область, ограниченная прямыми $%x=0;y=0;$% нужно лишь посмотреть, куда переходят при сем отображении эти прямые и точки внутри области, ограниченной прямыми;как я решил, прямая $%y=0$% переходит в отрезок от $%(-1;1)$% по $%y$% и $%0$% по $%x$%, a $%x=0$% - в нечто по $%x$% от $%-1$% до $%1$%, a по $%y$% - от $%-1$% до $%0$%. Это нечто - полуокружность? Все точки внутри области, ограниченной прямыми, лежат внутри сего полукруга...

задан 21 Апр '14 1:25

изменен 21 Апр '14 11:12

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
0

Представим функцию в виде $%w=1-\frac{4i}{z+2i}$%. Проследим, куда переходят положительные лучи обеих координатных прямых. Начнём со второго из них, так как это более просто. Пусть $%z=iy$%, где $%y\ge0$%. Тогда $%w=1-\frac4{y+2}$%. Понятно, что функция $%\frac4{y+2}$% монотонно убывает от $%2$% до $%0$%, поэтому множеством значений функции будет отрезок вещественной прямой, соединяющий точки $%-1$% и $%1$%.

Теперь положим $%x=2t$%, где $%t\ge0$%. Получается $%w=1-2\left(\frac1{t^2+1}+i\frac{t}{t^2+1}\right)$%. Охарактеризуем множество точек комплексной плоскости, задаваемое выражением в скобках. Положим $%x=\frac1{t^2+1}$%, $%y=\frac{t}{t^2+1}$% (старое обозначение для $%x$% нам уже более не нужно). Ясно, что $%t=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$%, откуда $%y=tx=\sqrt{x(1-x)}$%. Это уравнение дуги окружности, которое можно переписать в виде $%(x-\frac12)^2+y^2=\frac14$%, где $%x\in[0;1]$%, $%y\ge0$%. После умножения на 2 получается верхняя полуокружность радиуса 1 с центром в 1 (растяжение в два раза); знак минус соответствует центральной симметрии. Наконец, прибавление единицы даёт нижнюю полуокружность с центром в нуле радиуса 1. Вместе с отрезком, соединяющим точки $%-1$% и $%1$%, возникает полукруг.

Теперь достаточно взять любую точку $%z=x+iy$% с условиями $%x > 0$%, $%y > 0$%, и посмотреть, куда мы попадаем: внутрь полукруга, или во внешнюю его часть. Пусть $%x=y=1$%. Тогда $%w=-\frac{1+2i}5$%, то есть мы попали внутрь. Значит, образом первой координатной четверти будет полукруг, описанный выше.

ссылка

отвечен 21 Апр '14 13:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×499
×394
×108

задан
21 Апр '14 1:25

показан
946 раз

обновлен
21 Апр '14 13:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru