Уравнение с параметром С5.

Найдите все значения $%a$%, при каждом из которых уравнение $$a^2+6|x-2|+4\sqrt{x^2-4x+13}=3a+4|x-a-2|$$ имеет хотя ы один корень.

Тут как будто намекают на то, что надо получить квадратное уравнение относительно $%a$%, но что это дает, я пока не очень понимаю.

задан 21 Апр '14 20:08

изменен 23 Апр '14 1:10

Deleted's gravatar image


126

1

Недавно совсем оно здесь было(не нашел). Отвечала ASailyan

(21 Апр '14 22:06) epimkin

я не нашел. Он пропал

(21 Апр '14 22:17) epimkin

@epimkin: да, я тоже все последние (в этом месяце) просмотрел - не нашел.

(21 Апр '14 22:24) kirill1771

Мне встречались похожие задания -- например, здесь. Бывает так, что они воспроизводятся с опечатками, в результате чего не возникает нужный эффект. Я не уверен, что все они устроены принципиально одинаково, но этого разумно ожидать, поэтому желательно точнее проверить, что всё воспроизведено правильно.

(21 Апр '14 22:50) falcao

@falcao , именно эта задача была буквально дня три назад и решение было. Теперь пропало. Наверное автор удалил

(21 Апр '14 22:59) epimkin

@falcao, спасибо, мне подобного будет достаточно, чтобы принцип понять. Если я правильно мысль уловил, то условие списано без ошибок.

(21 Апр '14 23:02) ratchet

@epimkin: возможно, что условие где-то "промелькнуло", но я мог не заметить, потому что несколько дней назад извещения на почту не приходили. @ratchet: тот принцип решения, который был в аналогичной задаче, здесь напрямую не проходит, потому что не получается полного квадрата. В принципе, и в таком виде задача решается, но там получаются достаточно сложные для исследования функции, и ответ получается громоздкий. Мне кажется, такого быть не должно. Более вероятно наличие опечатки в каком-нибудь коэффициенте.

(21 Апр '14 23:13) falcao

Задача решалась сравнением левой правой частей, причем что-то куда-то пере носилось , не помню. Ответ был довольно короткий. Отвечала ASailyan. Может увидит и ответит

(21 Апр '14 23:29) epimkin

@epimkin, вы искали эту задачу?

(22 Апр '14 19:02) ASailyan

@ASailyan: я у Вас в ответах искал, не нашел.

(22 Апр '14 19:08) ratchet

@epimkin, @ASailyan: задач похожего типа на форуме было много, но там везде в результате оценок или получался полный квадрат, или имелись опечатки. В данном случае, судя по всему, нет ни того, ни другого. Мне всегда казалось, что в разных вариантах задачи должно присутствовать что-то однотипное. Но, возможно, я ошибаюсь.

(22 Апр '14 22:49) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
3

Я сейчас подумал, что эта задача всё-таки нормально решается, то есть не нужно анализировать какие-то сложные случаи.

Удобное начать с замены $%y=x-2$%, так как на число решений это не влияет. При $%y\ge a$% получается $%a^2+6|y|+4\sqrt{y^2+9}=4y-a$%. Легко понять, что решений здесь нет, поскольку $%a^2+a\ge-\frac14$%, и поэтому $%a^2+a+6|y|-4y+4\sqrt{y^2+9}\ge12-\frac14 > 0$% с учётом того, что $%6|y|\ge4|y|\ge4y$%.

Пусть теперь $%y < a$%. Уравнение принимает вид $%a^2+6|y|+4\sqrt{y^2+9}=7a-4y$%. Его можно преобразовать к такому виду: $%(a-\frac72)^2+6|y|+4y+4\sqrt{y^2+9}=\frac{49}4$%. Понятно, что $%6|y|+4y\ge0$%, откуда $%f(y)=6|y|+4y+4\sqrt{y^2+9}\ge12$%. Следовательно, $%(a-\frac72)^2\le\frac14$%, то есть $%a\in[3;4]$%. Это необходимое условие существования корня. Оно же является достаточным, так как если оно выполнено, то возникает уравнение $%f(y)=\frac{49}4-(a-\frac72)^2$%. В правой части находится число из отрезка $%[12;\frac{49}4]$%. Ввиду того, что $%f(0)=12$% и $%f(1) > 22 > \frac{49}4$%, с учётом непрерывности функции $%f(y)$%, рассмотренное уравнение имеет хотя бы одно решение при $%y\in[0;1]$%. При этом неравенство $%y < a$% выполняется ввиду $%y\le1 < 3\le a$%.

ссылка

отвечен 22 Апр '14 0:14

@falcao, спасибо, очень понятно объяснили. У меня только один вопрос (не по объяснению, а вобщем): почему в нашем примере $%\sqrt{y^2+9}$% всегда положительное число, ведь из корня извлекаются два числа, положительное и отрицательное?

(22 Апр '14 18:09) ratchet
1

@ratchet: это заблуждение. Посмотрите определение арифметического квадратного корня в школьном учебнике. Число $%\sqrt{25}$%, например, всегда равно 5, и это безальтернативно. Тот факт, что уравнение $%x^2=25$% имеет два решения, $%x=\pm\sqrt{25}$%, как раз согласуется с тем, что значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно. Поэтому при решении уравнения мы отдельно учитываем второе, отрицательное значение.

Есть ещё корни в комплексной области, где они могут иметь несколько иной смысл, но этого в школе не изучают.

(22 Апр '14 18:32) falcao
1

@ASailyan , искал, но не нашел. Ответили бы еще раз, мне тогда понравилоь. PS В той ветке комментарии уже не добавлялись

(22 Апр '14 19:07) epimkin

@falcao: спасибо Вам большое, так хорошо ответили сначала и сейчас объяснили опять очень доходчиво. Лучше сейчас спросить, чем потом ошибки делать.

(22 Апр '14 19:10) ratchet

@ASailyan , чего-то на почту пришло сообщение об ответе, а ответа я не увидел

(22 Апр '14 19:12) epimkin

@ratchet: да, конечно -- спросить или уточнить всегда полезно!

(22 Апр '14 22:47) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
3

Приходилось сталкиваться с такими задачками, тут фокус вот в чем: если вы перенесете второй модуль вправо, то сможете заметить - функция справа (где 2 модуля) убывает при x>=2 (т.к. кофициент при x отрицательный, либо -2, либо -10) и возрастает при x<2 (т.к. кофициент при x положительный). Т.е. правая часть имеет в x=2 максимум. А левая часть минимум. Чтобы равенство имело решение, минимум одной должен быть меньше максимума другой. Поэтому подставляете x=2 и решаете неравенство для a.

ссылка

отвечен 22 Апр '14 19:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×320
×259

задан
21 Апр '14 20:08

показан
2803 раза

обновлен
22 Апр '14 22:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru