|
Уравнение с параметром С5. Найдите все значения $%a$%, при каждом из которых уравнение $$a^2+6|x-2|+4\sqrt{x^2-4x+13}=3a+4|x-a-2|$$ имеет хотя ы один корень. Тут как будто намекают на то, что надо получить квадратное уравнение относительно $%a$%, но что это дает, я пока не очень понимаю. задан 21 Апр '14 20:08 
ratchet
показано 5 из 12
показать еще 7
|
|
Я сейчас подумал, что эта задача всё-таки нормально решается, то есть не нужно анализировать какие-то сложные случаи. Удобное начать с замены $%y=x-2$%, так как на число решений это не влияет. При $%y\ge a$% получается $%a^2+6|y|+4\sqrt{y^2+9}=4y-a$%. Легко понять, что решений здесь нет, поскольку $%a^2+a\ge-\frac14$%, и поэтому $%a^2+a+6|y|-4y+4\sqrt{y^2+9}\ge12-\frac14 > 0$% с учётом того, что $%6|y|\ge4|y|\ge4y$%. Пусть теперь $%y < a$%. Уравнение принимает вид $%a^2+6|y|+4\sqrt{y^2+9}=7a-4y$%. Его можно преобразовать к такому виду: $%(a-\frac72)^2+6|y|+4y+4\sqrt{y^2+9}=\frac{49}4$%. Понятно, что $%6|y|+4y\ge0$%, откуда $%f(y)=6|y|+4y+4\sqrt{y^2+9}\ge12$%. Следовательно, $%(a-\frac72)^2\le\frac14$%, то есть $%a\in[3;4]$%. Это необходимое условие существования корня. Оно же является достаточным, так как если оно выполнено, то возникает уравнение $%f(y)=\frac{49}4-(a-\frac72)^2$%. В правой части находится число из отрезка $%[12;\frac{49}4]$%. Ввиду того, что $%f(0)=12$% и $%f(1) > 22 > \frac{49}4$%, с учётом непрерывности функции $%f(y)$%, рассмотренное уравнение имеет хотя бы одно решение при $%y\in[0;1]$%. При этом неравенство $%y < a$% выполняется ввиду $%y\le1 < 3\le a$%. отвечен 22 Апр '14 0:14 
falcao @falcao, спасибо, очень понятно объяснили. У меня только один вопрос (не по объяснению, а вобщем): почему в нашем примере $%\sqrt{y^2+9}$% всегда положительное число, ведь из корня извлекаются два числа, положительное и отрицательное?
(22 Апр '14 18:09)
ratchet
1
@ratchet: это заблуждение. Посмотрите определение арифметического квадратного корня в школьном учебнике. Число $%\sqrt{25}$%, например, всегда равно 5, и это безальтернативно. Тот факт, что уравнение $%x^2=25$% имеет два решения, $%x=\pm\sqrt{25}$%, как раз согласуется с тем, что значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно. Поэтому при решении уравнения мы отдельно учитываем второе, отрицательное значение. Есть ещё корни в комплексной области, где они могут иметь несколько иной смысл, но этого в школе не изучают.
(22 Апр '14 18:32)
falcao
1
@ASailyan , искал, но не нашел. Ответили бы еще раз, мне тогда понравилоь. PS В той ветке комментарии уже не добавлялись
(22 Апр '14 19:07)
epimkin
@falcao: спасибо Вам большое, так хорошо ответили сначала и сейчас объяснили опять очень доходчиво. Лучше сейчас спросить, чем потом ошибки делать.
(22 Апр '14 19:10)
ratchet
@ASailyan , чего-то на почту пришло сообщение об ответе, а ответа я не увидел
(22 Апр '14 19:12)
epimkin
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Приходилось сталкиваться с такими задачками, тут фокус вот в чем: если вы перенесете второй модуль вправо, то сможете заметить - функция справа (где 2 модуля) убывает при x>=2 (т.к. кофициент при x отрицательный, либо -2, либо -10) и возрастает при x<2 (т.к. кофициент при x положительный). Т.е. правая часть имеет в x=2 максимум. А левая часть минимум. Чтобы равенство имело решение, минимум одной должен быть меньше максимума другой. Поэтому подставляете x=2 и решаете неравенство для a. отвечен 22 Апр '14 19:55 
Doctrina |
Недавно совсем оно здесь было(не нашел). Отвечала ASailyan
я не нашел. Он пропал
@epimkin: да, я тоже все последние (в этом месяце) просмотрел - не нашел.
Мне встречались похожие задания -- например, здесь. Бывает так, что они воспроизводятся с опечатками, в результате чего не возникает нужный эффект. Я не уверен, что все они устроены принципиально одинаково, но этого разумно ожидать, поэтому желательно точнее проверить, что всё воспроизведено правильно.
@falcao , именно эта задача была буквально дня три назад и решение было. Теперь пропало. Наверное автор удалил
@falcao, спасибо, мне подобного будет достаточно, чтобы принцип понять. Если я правильно мысль уловил, то условие списано без ошибок.
@epimkin: возможно, что условие где-то "промелькнуло", но я мог не заметить, потому что несколько дней назад извещения на почту не приходили. @ratchet: тот принцип решения, который был в аналогичной задаче, здесь напрямую не проходит, потому что не получается полного квадрата. В принципе, и в таком виде задача решается, но там получаются достаточно сложные для исследования функции, и ответ получается громоздкий. Мне кажется, такого быть не должно. Более вероятно наличие опечатки в каком-нибудь коэффициенте.
Задача решалась сравнением левой правой частей, причем что-то куда-то пере носилось , не помню. Ответ был довольно короткий. Отвечала ASailyan. Может увидит и ответит
@epimkin, вы искали эту задачу?
@ASailyan: я у Вас в ответах искал, не нашел.
math.hashcode.ru/questions/18775/
@epimkin, @ASailyan: задач похожего типа на форуме было много, но там везде в результате оценок или получался полный квадрат, или имелись опечатки. В данном случае, судя по всему, нет ни того, ни другого. Мне всегда казалось, что в разных вариантах задачи должно присутствовать что-то однотипное. Но, возможно, я ошибаюсь.