Показательное неравенство

Запишем это неравенство в виде $%a^b\le1$%, где $%a=3^{|2x-1|+1}/4$% и $%b=|2x-1|$%. Проанализируем три случая для положительного числа $%a$%. Если $%a=1$%, то годится любой показатель степени. Если $%a > 1$%, то из $%a^b\le1=a^0$% следует $%b\le0$%, так как показательная функция $%a^t$% возрастает. Сразу заметим, что в нашем случае $%b\ge0$%, то есть получается $%b=0$%, и $%x=1/2$%.

Пусть $%a < 1$%. Тогда из убывания показательной функции получаем $%b\ge0$%, что имеет место всегда. Осталось выяснить, при каких $%x$% выполнено равенство $%a=1$%, а также соответствующие неравенства.

Уравнение имеет вид $%3^{|2x-1|+1}=4$%, откуда $%|2x-1|=\log_34-1=\log_3\frac43$%. При этом $%x=\frac{1\pm\log_3\frac43}2$%; это значит, что $%x=\log_32$% или $%x=\log_3\frac32$%.

Теперь заметим, что неравенство $%|2x-1| < \log_3\frac43$% нас устраивает, и вместе с предыдущими числами мы имеем отрезок. Также учитываем отдельное решение $%x=\frac12$%. Ответом будет $%x\in[\log_3\frac32;\log_32]$%. Число $%\frac12$% этому отрезку принадлежит, так как $%\frac32 < \sqrt3 < 2$%.