функциональный-анализ - Всюду плотное подмножество

По определению "всюду плотность" означает, что если мы возьмем любой элемент $%x=(x_1,x_2,\ldots)$%, то в любой его окрестности должен найтись элемент из указанного множества - обозначим его через $%P$% - то есть последовательность, все элементы которой, кроме конечного числа, равны нулю. Можно считать, что окрестность --- это "шар" радиуса $%\varepsilon$%, то есть $%U_{\varepsilon}(x)=\{y=(y_1,y_2,\ldots)|\Vert x-y\Vert^2=\sum_{i=1}^{\infty}(x_i-y_i)^2<\varepsilon^2\}$%.

То, что элемент $%x$% лежит в $%l_2$% означает, что $%\sum_{i=1}^{\infty}x_i^2<\infty$% или, в терминах остаточных членов, что начиная с некоторого $%n_0$% для любого $%n>n_0$% сумма $%\sum_{i=n}^{\infty}x_i^2<\varepsilon^2$% для любого наперед заданного $%\varepsilon>0$%.

Если мы возьмем последовательность $%x^n=(x_1,\ldots,x_n,0,0,\ldots)$%, где $%n>n_0$% то $%\Vert x-x^n\Vert^2=\sum_{i=n}^{\infty}x_i^2<\varepsilon^2$%, то есть $%x^n$% лежит в окрестности $%U_{\varepsilon}(x)$%. Но тогда, поскольку $%\varepsilon>0$% было произвольным, это и означает "всюду плотность".