Показать, что пространство последовательностей, в каждой из которых имеется лишь конечное число отличных от нуля элементов, является всюду плотным подмножеством l2

задан 22 Апр '14 19:57

10|600 символов нужно символов осталось
0

По определению "всюду плотность" означает, что если мы возьмем любой элемент $%x=(x_1,x_2,\ldots)$%, то в любой его окрестности должен найтись элемент из указанного множества - обозначим его через $%P$% - то есть последовательность, все элементы которой, кроме конечного числа, равны нулю. Можно считать, что окрестность --- это "шар" радиуса $%\varepsilon$%, то есть $%U_{\varepsilon}(x)=\{y=(y_1,y_2,\ldots)|\Vert x-y\Vert^2=\sum_{i=1}^{\infty}(x_i-y_i)^2<\varepsilon^2\}$%.

То, что элемент $%x$% лежит в $%l_2$% означает, что $%\sum_{i=1}^{\infty}x_i^2<\infty$% или, в терминах остаточных членов, что начиная с некоторого $%n_0$% для любого $%n>n_0$% сумма $%\sum_{i=n}^{\infty}x_i^2<\varepsilon^2$% для любого наперед заданного $%\varepsilon>0$%.

Если мы возьмем последовательность $%x^n=(x_1,\ldots,x_n,0,0,\ldots)$%, где $%n>n_0$% то $%\Vert x-x^n\Vert^2=\sum_{i=n}^{\infty}x_i^2<\varepsilon^2$%, то есть $%x^n$% лежит в окрестности $%U_{\varepsilon}(x)$%. Но тогда, поскольку $%\varepsilon>0$% было произвольным, это и означает "всюду плотность".

ссылка

отвечен 22 Апр '14 22:44

изменен 22 Апр '14 22:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×793

задан
22 Апр '14 19:57

показан
792 раза

обновлен
22 Апр '14 22:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru